华为机试HJ82：将真分数分解为埃及分数

作者：翟天保Steven
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题目描述：

分子为1的分数称为埃及分数。现输入一个真分数(分子比分母小的分数，叫做真分数)，请将该分数分解为埃及分数。如：8/11 = 1/2+1/5+1/55+1/110。

注：真分数指分子小于分母的分数，分子和分母有可能gcd不为1！

如有多个解，请输出任意一个。

请注意本题含有多组样例输入！

输入描述：

输入一个真分数，String型

输出描述：

输出分解后的string

示例：

输入：

8/11
2/4

输出：

1/2+1/5+1/55+1/110
1/3+1/6

说明：

第二个样例直接输出1/2也是可以的

解题思路：

本题有两个方法：1）取巧；2）贪心算法。

1）直接输出n个1/X即可，比如8/11就输出1/11+1/11+。。。+1/11，emm取巧。

2）贪心算法即在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。令真分数8/11进行拆分，先找到比其小的最大埃及分数，也就是1/2，那么8/11-1/2等于5/22，则找其最大埃及分数，即1/5，以此类推直到找完所有的埃及分数。其算法实现如下：

假设真分数为a/b，那么b除以a可以得到c，余数为d。即 $b=a*c+d$ ；
两侧同除a，可以得到 $b/a=c+d/a$ ;
因为d是a的余数，所以d<a，那么 $b/a=c+d/a<c+1$ ;
两边取倒数，即 $a/b>1/(c+1)$ ，1/(c+1)就是我们要找的最大埃及分数；
令e=c+1，则有 $a/b-1/e=(a*e-b)/(b*e)$ ；
即表示减去一个最大埃及分数后，新的a=a*e-b，新的b等于b*e;
当a等于1时说明分解到头了，此时的b就是最后一个埃及分数的分母。

测试代码：

1）取巧方法。

#include<iostream>
#include<string>using namespace std;int main() {string s;while (cin >> s) {string ans;int n;for (int i = 0; i < s.size(); i++) {if (s[i] == '/') {n = stoi(s.substr(0, i));s = "1/" + s.substr(i + 1) + "+";break;}}while (n--) {ans += s;}cout << ans.substr(0,ans.size()-1) << endl;}return 0;
}

2）贪心算法。

#include<iostream>
#include<string>using namespace std;int main() {string s;while (cin >> s) {string ans;int a,b;for (int i = 0; i < s.size(); i++) {if (s[i] == '/') {a = stoi(s.substr(0, i));b = stoi(s.substr(i + 1));break;}}while(1){int e=b/a+1;ans+="1/";ans+=to_string(e);a=a*e-b;b=b*e;ans+="+";if(a==1){ans+="1/";ans+=to_string(b);break;}else if(a>1&&b%a==0){ans+="1/";ans+=to_string(b/a);break;}}cout<<ans<<endl;}return 0;
}

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