摆花(2012Noip普及组第3题)

摆花

(flower.cpp/c/pas)

【问题描述】

小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共 m 盆。通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的 n 种花，从 1 到 n 标号。为了在门口展出更多种花，规定第 i 种花不能超过 a_i盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。

试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。

【输入】

输入文件 flower.in，共 2 行。

第一行包含两个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 a₁、a₂、……a_n。

【输出】

输出文件名为 flower.out。

输出只有一行，一个整数，表示有多少种方案。注意：因为方案数可能很多，请输出方案数对 1000007 取模的结果。

【输入输出样例 1】

flower.in

2 4

3 2

flower.out

分析：

动态规划：

题目要求花必须按从小到大的顺序摆放，并且同种类的花必须挨着放，则题目就简单多了

a[i]表示第i种花最多使用的盆数
f[i][j]表示前i种花，摆j盆的摆放方案数。对于第i种花可以使用0、1、2...a[i]盆,对应的前i-1种花摆放的盆数为j-0、j-1、j-2、...j-a[i]
即f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+...+f[i-1][j-a[i]] =f[i-1][j-k](0<=k<=a[i],j>=k)
方程写出来后，最关键的就是赋初始值

初始值f[1][0]=1,f[1][1]=1,...f[1][a[1]]=1;
初始值f[i][0]=1;(1<=i<=n)

以

2 4

3 2

为例：

很显然f[1][1]=f[1][2]=f[1][3]=1;

f[2][1]=2,前2种花，放一盆，则有1,2两种方法。又

f[2][1]=f[1][0]+f[1][1]=f[1][0]+1可以推出f[1][0]=1；

同样的方法可以推出f[2][0]=f[3][0]=...=f[n][0]=1;

(f[2][2]=f[1][0]+f[1][1]+f[1][2]

f[2][3]=f[1][1]+f[1][2]+f[1][3]

f[2][4]=f[1][2]+f[1][3]+f[1][2])

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[200][200]={{0,0}};
int a[200];
int main(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];memset(f,0,sizeof(f));for(int i=0;i<=a[1];i++) f[1][i]=1;for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=1;for (int i=2;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)for(int k=0;k<=a[i];k++)if (j>=k)f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-k])% 1000007;cout<<f[n][m]<<endl;return 0;
}

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方法2：初始值f[0][0]=1;前0种花摆放0盆的方案数为1

//题目要求花必须按从小到大的顺序摆放，并且同种类的花必须挨着放，则题目就简单多了
//f[i][j]表示前i种花，摆j盆的摆放方案数。对于第i种花可以使用0、1、2...a[i]盆,对应的前i-1种花摆放的盆数为j-0、j-1、j-2、...j-a[i]
//即f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+...+f[i-1][j-a[i]] (j>a[i])
//初始值f[0][0]=1;前0种花摆放0盆的方案数为1
//方程写出来后，最关键的就是赋初始值
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[200][200]={{0,0}};
int a[200];
int main(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];memset(f,0,sizeof(f));f[0][0]=1;
//    for(int i=0;i<=a[1];i++) f[1][i]=1;
//    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=1;for (int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)for(int k=0;k<=a[i];k++)if (j>=k)f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-k])% 1000007;cout<<f[n][m]<<endl;return 0;
}

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