浮点数基础问题

原文有些地方理解的不对，我这里做下修改。原文引自http://www.cnblogs.com/xkfz007/archive/2012/02/27/2370357.html

为了使有效值和浮点数能够统一，在空间表达上更具有效率，通过调整阶码，使得所有浮点数（任何进制）在小数点前不含有效数字，小数点后第一位非0，这就是浮点数的规格化。在计算机中，所有浮点数都是二进制表示的，因此要先转换成二进制浮点数。整数部分除2取余，小数部分乘2取整。

无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：

1.   符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负

2.   指数位（Exponent）:用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储 即阶码

3.   尾数部分（Mantissa）：尾数部分

其中float的存储方式如下图所示：

而双精度的存储方式为:

R32.24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*,而120.5可以表示为:1.205*。而我们计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0，1，所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示，8.25用二进制表示可表示为1000.01(整数除2取余，小数乘2取整)。120.5用二进制表示为：1110110.1用二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.0001*,1110110.1可以表示为1.1101101*,任何一个数都的科学计数法表示都为1.xxx*, 尾数部分就可以表示为xxxx,由于第一位都是1，可以将小数点前面的1省略，所以23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit（注意，这就是二进制浮点数的规格化，也就是说为了使有效值和尾数统一，在空间表达上更有效率，对浮点数进行阶码调整，写成小数前不含有效数字，小数点后第一位非0表示，而且对于二进制浮点数规格化，就是这里的表示方法，即把小数点后的第一个非0（只能是1）调整到小数点前，然后抹去），道理就是在这里，那24bit能精确到小数点后几位呢，我们知道9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使float能精确到小数点后6位，而对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-128-127了， 所以指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为原数据+127，这么做，是因为IEEE754标准规定阶码值为-127，-128用来表示特殊的浮点数-127表示0，-128表示无穷大，非法操作数，+127是为了统一浮点数0.下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式。

首先看下8.25，用二进制的科学计数法表示为:1.0001*

按照上面的存储方式，符号位为:0，表示为正，指数位为:3+127=130 ,尾数部分为0001,故8.25的存储方式如下图所示:

而单精度浮点数120.5的存储方式如下图所示:

那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你如何知道该数据的十进制数值呢？其实就是对上面的反推过程，比如给出如下内存数据：0100001011101101000000000000，首先我们现将该数据分段，0 10000101 110 1101 0000 0000 0000 0000，在内存中的存储就为下图所示：

根据我们的计算方式，可以计算出，这样一组数据表示为:1.1101101*=120.5

而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分（11位）和尾数部分的位数（52位），并且对于指数部分，双精度采用：原数据+1023。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了，只将120.5的最后存储方式图给出，大家可以仔细想想为何是这样子的

下面我就这个基础知识点来解决一个我们的一个疑惑，请看下面一段程序，注意观察输出结果

float f = 2.2f;
           double d = (double)f;
           Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
           f = 2.25f;
           d = (double)f;
           Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

可能输出的结果让大家疑惑不解，单精度的2.2转换为双精度后，精确到小数点后13位后变为了2.2000000476837，而单精度的 2.25转换为双精度后，变为了2.2500000000000，为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢？很奇怪吧？其实通过上面关于两种存储结果的介绍，我们已经大概能找到答案。首先我们看看2.25的单精度存储方式，很简单 01000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,而2.25的双精度表示为:0 1000000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,这样2.25在进行强制转换的时候，数值是不会变的，而我们再看看2.2呢，2.2用科学计数法表示应该为：将十进制的小数转换为二进制的小数 的方法为将小数*2，取整数部分，所以0.2*2=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0，0.4×2=0.8，第二位为 ,0.8*2=1.6,第三位为1，0.6×2= 1.2，第四位为1，0.2*2=0.4，第五位为0，这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列00110011001100110011... ,对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以2.2的float存储为:

但 是这样存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2的，应为十进制在转换为二进制的时候可能会不准确，如2.2，而double类型的数 据也存在同样的问题，所以在浮点数表示中会产生些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题，对于能够用二进制表示的十进制数据，如 2.25，这个误差就会不存在，所以会出现上面比较奇怪的输出结果。