对于情况分析，主要参考：

本文只是对参考链接的简单“复制”，最多会有比较详细的解释，不会有什么新的东西该类问题涉及到三个因素，分别是球是否有区别、盒子是否有区别、盒子是否可以为空。所以大概可以将该问题分为以下八种情况：1.将n个无区别的球放入m个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

2.将n个无区别的球放入m个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？3.将n个无区别的球放入m个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

4.将n个无区别的球放入m个有标志的盒中，盒内数目无限制，有多少种情况？5.将n个有区别的球放入m个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

6.将n个有区别的球放入m个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

将n个无区别的球放入m个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

解释

这里肯定要假设球的个数n要大于盒子的个数m，否则的话，必然有盒子是空的。

记录此时的情况个数为$P_{m}(n)$。由于此时任何一个盒子都不能是空的，所以必然有m个球放在了这m个盒子中，并且由于是无区别/无标志，所以这只有一种情况，也就是说$P_m(m)==1$。剩下的球怎么分等下再说，这个前提得有。

这里给出结论：

$P_m(n) = P_1(n-m) + P_2(n-m) + … + P_{n-m}(n-m)$

这里给出第一项的解释：在这m个盒子中任何1个盒子中要装上这n-m个球。

除了$P_m(m)==1$之外还有$P_{m-1}(m)==1$和$P_1(1)==1$，具体不在解释。

代码实现1

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38* @param n N个球

* @return int 次数

*/

int (int m, int n)

{

if (m > n)

{

return -1;

}

if (m == 1 || m == n || m == n - 1)

{

return 1;

}

int count = 0;

for (int i = 1; i <= n - m; i++)

{

count += p(i, n - m);

}

return count;

}

int ()

{

int N, M;

std::cout << "input the number of boxes(M): ";

std::cin >> M;

std::cout << "input the number of balls(N): ";

std::cin >> N;

std::cout << "count is: " << p(M, N) << std::endl;

}

将n个无区别的球放入m个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

解释

貌似不是特别好想，直接给出结论，$P_{m}(n+m)$

代码实现，略

将n个无区别的球放入m个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

$C_{n-1}^{m-1}$1

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63// 主要是如何计算排列组合

/**

* @brief 计算

*

* @param m

* @param n

* @return int

*/

int n_arragement(int n, int start_n, int start_arragement)

{

// 不进行某些判断了

int result = start_n > 1 ? start_arragement : 1;

int start_i = start_n > 1 ? start_n + 1 : 1;

for (; start_i <= n; start_i++)

{

result *= start_i;

}

return result;

}

/**

* @brief 计算n个无区别的球放入m个有区别的盒子中有几种方法(不允许有空盒子)

*

* @param m M个盒子

* @param n N个球

* @return int 次数

*/

int p(int m, int n)

{

// 不进行某些判断了

/**

* $C_{n-1}^{m-1} = frac{(n-1)!}{(n-m)! * (m-1)!}$

*

*/

int part1, part2, part3 = 1; // (n-1)! larger smaller

if(n-m < m-1){

part3 = n_arragement(n-m, 1, 1);

part2 = n_arragement(m-1, n-m, part3);

part1 = n_arragement(n-1, m-1, part2);

} else {

part3 = n_arragement(m-1, 1, 1);

part2 = n_arragement(n-m, m-1, part3);

part1 = n_arragement(n-1, n-m, part2);

}

return part1 / (part2 * part3);

}

int main()

{

int N, M;

// std::cout << n_permutation(5, 3, 6) << std::endl;

std::cout << "input the number of boxes(M): ";

std::cin >> M;

std::cout << "input the number of balls(N): ";

std::cin >> N;

std::cout << "count is: " << p(M, N) << std::endl;

}

将n个无区别的球放入m个有标志的盒中，盒内数目无限制，有多少种情况？

$C_{m+n-1}^{m-1}$

将n个有区别的球放入m个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

略， $S(N, M)$ –第二类斯特林数

将n个有区别的球放入m个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

略，$S(N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3) + … + S(N, M)$

将n个有区别的球放入m个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

略，$M! * S(N, M)$

将n个有区别的球放入m个有标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

$m^n$