gemm() 与 gesvd() 到矩阵求逆（inverse）(根据 SVD 分解和矩阵乘法求矩阵的逆)

可逆方阵 AA 的逆记为，A−1A^{-1}，需满足 AA−1=IAA^{-1}=I。

在 BLAS 的各种实现中，一般都不会直接给出 matrix inverse 的直接实现，其实矩阵（方阵）的逆是可以通过 gemm()和gesvd()操作得到。

实值可逆方阵 AA，其 SVD 分解如下：

A⋅V=U⋅S

A\cdot V=U\cdot S

其中：

V,UV, U 均为正交矩阵，

{VVT=IUUT=I⇒{V−1=VTU−1=UT

\left\{\begin{split}&VV^T=I\\&UU^T=I\end{split}\right. ⇒\left\{\begin{split} &V^{-1}=V^T\\&U^{-1}=U^T\end{split}\right.
SS 为对角矩阵；
- 因为 A 是可逆的，根据 SVD 的定义，SS 的对角元素均是正数；
所以有：

A⋅V⋅S−1⋅U−1=I⇒A⋅V⋅S−1⋅UT=I

A\cdot V\cdot S^{-1}\cdot U^{-1}=I ⇒ A\cdot V\cdot S^{-1}\cdot U^T=I

也即：

A−1=V⋅S−1⋅UT

A^{-1}=V\cdot S^{-1}\cdot U^T

references
- 1. Matrix Inverse

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