【证明】【一题多解】布尔不等式（union bound）的证明

布尔不等式（Boole’s inequality）也叫（union bound），即并集的上界，描述的是至少一个事件发生的概率（P(⋃iAi)P(⋃iAi)\mathbb{P}\left(\bigcup_i A_i\right)）不大于单独事件（事件之间未必独立）发生的概率之和（∑iP(Ai)∑iP(Ai)\sum_i\mathbb P(A_i)）。

即：

P(⋃iAi)≤∑iP(Ai)P(⋃iAi)≤∑iP(Ai)

\mathbb{P}\left(\bigcup_i A_i\right)\leq \sum_i\mathbb P(A_i)

展开即为：

P(A1⋃A2⋃⋯)≤P(A1)+P(A2)+⋯P(A1⋃A2⋃⋯)≤P(A1)+P(A2)+⋯

\mathbb P\left(A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots\right)\leq \mathbb P\left(A_1\right)+\mathbb P\left(A_2\right)+\cdots

1. 数学归纳法证明

当 n=1n=1n=1 时，显然 P(A1)≤P(A1)P(A1)≤P(A1)\mathbb P(A_1) \le \mathbb P(A_1)
对于 nnn，如果有：P(⋃i=1nAi)≤∑i=1nP(Ai)" role="presentation">P(⋃ni=1Ai)≤∑ni=1P(Ai)P(⋃i=1nAi)≤∑i=1nP(Ai){\mathbb P}\left (\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right ) \le \sum_{i=1}^{n} {\mathbb P}(A_i)，则由 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) 可知：

P(⋃i=1n+1Ai)=P({⋃i=1nAi}⋃An+1)=P(⋃i=1nAi)+P(An+1)−P({⋃i=1nAi}⋂An+1)≤P(⋃i=1nAi)+P(An+1)P(⋃i=1n+1Ai)=P({⋃i=1nAi}⋃An+1)=P(⋃i=1nAi)+P(An+1)−P({⋃i=1nAi}⋂An+1)≤P(⋃i=1nAi)+P(An+1)

\begin{split}\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) =\mathbb{P}\left(\left\{\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right\} \bigcup A_{n+1}\right) &=\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)+\mathbb P\left(A_{n+1}\right) - \mathbb{P}\left(\left\{\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right\} \bigcap A_{n+1}\right)\\&\leq \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)+\mathbb P\left(A_{n+1}\right)\end{split}

2. 将事件转换为独立事件（不相交事件）

假设有A1,A2,A3A1,A2,A3A_1, A_2, A_3 三个事件，则：

令 B1=A1,B2=A2−A1B1=A1,B2=A2−A1B_1=A_1, B_2 = A_2-A_1，B1B1B_1 与 B2B2B_2 不相交
令 B2=A2−A1B2=A2−A1B_2 = A_2-A_1 B3=A3−A2−A1B3=A3−A2−A1B_3=A_3-A_2-A_1，B2B2B_2 与 B3B3B_3 不相交

令 Bi=Ai∖(⋃i−1k=1Ai)Bi=Ai∖(⋃k=1i−1Ai)B_i=A_i\backslash \left(\bigcup_{k=1}^{i-1} A_i\right)，则有 B1,B2,⋯,B1,B2,⋯,B_1, B_2, \cdots, 互不相交，且 A1∪A2∪⋯=B1∪B2∪⋯A1∪A2∪⋯=B1∪B2∪⋯A_1\cup A_2\cup \cdots=B_1\cup B_2\cup \cdots，自然 Bi⊂AiBi⊂AiB_i\subset A_i ==> P(Bi)≤P(Ai)P(Bi)≤P(Ai)P(B_i)\leq P(A_i)：

P(A1∪A2∪⋯)=P(B1∪B2∪⋯)=P(B1)+P(B2)+⋯≤P(A1)+P(A2)+⋯P(A1∪A2∪⋯)=P(B1∪B2∪⋯)=P(B1)+P(B2)+⋯≤P(A1)+P(A2)+⋯

\begin{split} \mathbb P \left(A_1\cup A_2\cup \cdots\right)&=\mathbb P\left(B_1\cup B_2\cup \cdots\right)=\mathbb P(B_1)+\mathbb P(B_2)+\cdots \\ &\leq \mathbb P(A_1)+\mathbb P(A_2)+\cdots \end{split}