两连杆机器鱼的简单建模方法

在机器鱼的建模过程中，无可避免地会遇到一个问题，那就是：

机器鱼的推进力是如何产生的呢？

如果不想明白这个问题，我们没有对推力建模，机器鱼甚至都无法前进，这样我们的建模工作自然就无法往下进行了。

如何对这个问题的解答呢？

生物学家会认为鱼类会利用身体摆动产生反卡门涡街，向后喷射，从而获得推进力，但貌似具体的建模方法有些复杂。

一些文献中，把鱼尾巴当做是一个机翼，用翼型理论来分析鱼尾受力，这样确实是一种方法。

一些文献中，则利用细长体理论来建模鱼尾受力。(这个不太清楚，就不瞎说了)

以上方法，我都可以理解推力是如何产生的，但是最让我郁闷的就是：

一些文献中把鱼尾巴的力分作两部分，一是附加质量力，二是粘滞阻力。

我非常不能理解，如果只有这两部分力的话，真的还可以创造向前的力吗？

毕竟咋一看，附加质量就是在原来基础上增加了一些质量，并不会产生推力，而阻力感觉上也不可能会产生推力。

(附加质量实际上就是说在水里物体运动要带动周围流体一块运动，这种效应可以近似看做为本体的质量增加了，增加的这部分质量就是附加质量。)

那么这样子是否真的可以产生推力呢？

直觉不可靠，让我们从一个简单的两连杆机器鱼出发，对其建立模型，来揭开我们的谜底吧！

1 两连杆机器鱼示意图

说明：

点bb bb代表鱼头质心，同时也是转动关节的所在位置，而点tt tt则代表鱼尾质心，从鱼头质心到鱼尾质心的向量由rbtrbt r_{bt}rbt​表示，鱼尾的转动角用θθ \thetaθ表示。图中的坐标系为鱼头坐标系。

1.1 关节运动规律

假设鱼尾以某种运动规律进行运动，具体而言就是，θ的变化遵循某种规律，这里采用的是余弦函数，如下：

2 两连杆机器鱼建模过程

2.1 鱼头分析

(1)位置和速度更新

假设鱼头在世界系的位置为Pw​，姿态为γ，这里就考虑二维的，所以姿态可以就用一个偏航角表达。

假设鱼头的速度为Vb​，角速度为Ωb，代表的是鱼头相对于惯性系的速度在鱼头坐标系的表示。

(注意，这里Pb，Vb​，Ωb​表示的还是三维向量)

位置更新公式为：

这里的(∗)z代表的就是括号内向量的第三个的元素。

另外：

速度更新公式为：

(2)水动力分析

在文章开头说了，我们主要是为了验证如果只考虑附加质量力和粘滞阻力的话，是否能产生推进力。附加质量实际上就是质量，我们只需要在正常的质量上再设置大一些就可以了，这里不需要再分析。而粘滞阻力，我们采取如下建模方式：

其中sign(∗)代表符号函数。

(3)受力分析

假设鱼头受到来自鱼尾的力F以及力矩M，利用牛顿欧拉公式，则有：

其中，mb​和Jb​分别是鱼头的质量和转动惯量 。

所以，鱼头的加速度和角加速度为：

2.2 鱼尾分析

(1)鱼尾速度计算

首先，根据图片，我们可以知道rbt​的表达式如下

其中，r代表了从b点到t点的距离。

其次，我们计算鱼尾的速度和加速度，如下：

其中，e3=[0,0,1]T。

(2)鱼尾受力分析

鱼尾受到来自鱼头的−F的力，以及−M的力矩。利用牛顿欧拉方程：

进一步整理，可得：

到这里，我们可以通过联立(1)和(2)方程，求解由尾巴运动，造成的鱼头加速度了。

Note. 如果对这些公式接受起来还有困难的话，读者可以移步：

3 MATLAB代码实现

以下代码，完全按照上述公式进行复现。

clc;

clear all;

close all;

% 物理参数——鱼头

mb = 1.0;

Jb = 0.01;

% 物理参数——鱼尾

mt = 0.2;

Jt = 0.001;

r = 0.1;

% 关节运动

theta = 0;

dtheta = 0;

ddtheta = 0;

a = pi*2;

b = pi/4;

% 运动状态

Vb = zeros(3,1);

dVb = zeros(3,1);

Wb = zeros(3,1);

dWb = zeros(3,1);

Vt = zeros(3,1);

dVt = zeros(3,1);

Wt = zeros(3,1);

dWt = zeros(3,1);

Yaw = 0;

Pos = zeros(3,1);

% 阻力系数

CFb = 10*[0.1; 0.01; 0];

CMb = [0; 0; 1];

CFt = [0.1; 0.1; 0.1];

% 力

F = zeros(3,1);

M = zeros(3,1);

% 其他辅助变量

e3 = [0;0;1];

time = [];

The = [];

Vel = [];

WVel = [];

Poslist = [];

Flist = [];

Mlist = [];

%% 主要仿真过程

for t = 0:0.01:20

% 给定关节运动

theta = b*cos(a*t);

dtheta = -a*b*sin(a*t);

ddtheta = -a*a*b*cos(a*t);

r_bt = r*[cos(theta);sin(theta);0];

% 鱼尾速度

Wt = Wb + dtheta*e3;

Vt = Vb + cross(Wt,r_bt);

% 鱼尾加速度

dWt = dWb + ddtheta*e3;

dVt = dVb + cross(Wt,Vb) + cross(dWt,r_bt)+cross(Wt,cross(Wt,r_bt));

% 力

F = -mt*dVt;

M = cross(r_bt, F) - Jt*dWt - cross(Wt, Jt*Wt);

% 计算阻力

Fdb = -0.5*CFb.*[sign(Vb(1))*Vb(1)*Vb(1); sign(Vb(2))*Vb(2)*Vb(2); sign(Vb(3))*Vb(3)*Vb(3)];

Mdb = -0.5*CMb.*[sign(Wb(1))*Wb(1)*Wb(1); sign(Wb(2))*Wb(2)*Wb(2); sign(Wb(3))*Wb(3)*Wb(3)];

Fdt = -0.5*CFt.*[sign(Vt(1))*Vt(1)*Vt(1); sign(Vt(2))*Vt(2)*Vt(2); sign(Vt(3))*Vt(3)*Vt(3)];

% 分析头部连杆，计算鱼头加速度

dVb = (F+Fdb-mb*cross(Wb, Vb))/mb;

dWb = (M+Mdb-cross(Wb,Jb*Wb))/Jb;

% 鱼头速度更新

Vb = Vb + dVb*0.01;

Wb = Wb + dWb*0.01;

% 鱼头位置更新

Yaw = Yaw + Wb(3)*0.01;

R = [cos(Yaw), -sin(Yaw), 0;

sin(Yaw), cos(Yaw), 0;

0, 0, 1];

Vw = R*Vb;

Pos = Pos + Vw*0.01;

% 收集数据

time = [time, t];

Poslist = [Poslist, Pos];

Flist = [Flist, F];

Mlist = [Mlist, M];

Vel = [Vel, Vb];

WVel = [WVel, Wb];

end

%% 绘图

figure(1)

subplot(3,2,1)

title('力');

hold on

plot(time, Flist(1,:),'r')

ylabel('X')

grid on

subplot(3,2,3)

plot(time, Flist(2,:),'g')

ylabel('Y')

grid on

subplot(3,2,5)

plot(time, Flist(3,:),'b')

ylabel('Z')

grid on

subplot(3,2,2)

title('力矩');

hold on

plot(time, Mlist(1,:),'r')

ylabel('X')

grid on

subplot(3,2,4)

plot(time, Mlist(2,:),'g')

ylabel('Y')

grid on

subplot(3,2,6)

plot(time, Mlist(3,:),'b')

ylabel('Z')

grid on

figure(2)

subplot(3,2,1)

title('速度');

hold on

plot(time, Vel(1,:),'r')

ylabel('X')

grid on

subplot(3,2,3)

plot(time, Vel(2,:),'g')

ylabel('Y')

grid on

subplot(3,2,5)

plot(time, Vel(3,:),'b')

ylabel('Z')

grid on

subplot(3,2,2)

title('角速度');

hold on

plot(time, WVel(1,:),'r')

ylabel('X')

grid on

subplot(3,2,4)

plot(time, WVel(2,:),'g')

ylabel('Y')

grid on

subplot(3,2,6)

plot(time, WVel(3,:),'b')

ylabel('Z')

grid on

figure(3)

plot(Poslist(1,:),Poslist(2,:))

grid on

axis equal

4 仿真结果分析

4.1 鱼头固定，只摆动鱼尾，推力的效果

以上是力的曲线，可以看出总体上，X轴上的力有往负半轴偏移的趋势。说明，当鱼头不固定时，很有可能鱼尾的摆动会产生一定的前向力，但是有两次，分别是10s和35s的时候正向上出现了很大的力，也就是说，出现后向力的可能性也有，主要取决于鱼头当时的状态。

以上是速度和轨迹的图线，可以看到，鱼头是忽进忽退的，速度一会儿朝前，一会儿朝后。

综上，在这种情况下，并不能产生稳定的推力。

4.3 鱼头不固定，摆动鱼尾，考虑阻力

看到这里，是不是感叹，奇迹发生了！

考虑了阻力以后，X轴上的力往负半轴偏移了，速度也往负半轴方向增长，鱼游动的轨迹也成了一条直线。鱼顺利产生了推进力，和实验中观察到的现象是一致的。

究其原因，大概是，考虑阻力以后，鱼头的晃动变得可控，使得力始终保持在鱼体的轴线附近，从而产生了推进力！

5 小结

OK！

看到了这里，我们已经验证了，只考虑附加质量和阻力实际上确实可以产生推进力，而且阻力在这里起到了至关重要的作用。

但是阻力究竟是如何起作用的呢？

我也还在探索中，有了新发现再来更新吧！