电流源运放电流源：Howland电流泵

由麻省理工学院Brad Howland发明的运放电流源得到了广泛使用，在电路设计领域已广为人知。不过对于不熟悉这一行业的人来说理解起来可能有些难度。下面从比较简单、大家熟悉的电路开始做一些解释。

第一个要讨论的电路是运放电流镜，如下图所示。

运放的反相(-)和同相(+)端输入电压等于：

当运放正常工作时，v_- = v₊，可以推导出：

运放输入电压仅取决于R_L的参考地，它在相对于地的v_L上浮动；

输出电流独立于v_L和负载电阻RL。决定i_L的是R_f+上的电压，这个电压必须与R_f-上的电压相同，而不管v_-= v₊ 是多少，而且R_f上的电压也不取决于地。

接着通过将输入源变为电压把电流镜修改为下图所示的第二种电路，并将R_f+返回到v_R。

当v_- = v₊ 时，

首先，让v_R = 0 V，形成单运放的差分放大器。在运放的输入电压相同(v_- = v₊ ),的情况下，

然后让v_R =V_OS，后者是恒定的偏置电压。得到

将R_f+连接到非地点的结果是将输出电压提高相同的数值。

对于vR的第三种变化，我们要耐心一些，并设v_R = v_O。针对要求的运放输入条件(v_- =v₊ )，v_I=0V。v_I≠ 0V的设置会使v₊总是大于v_-，运放输出将增加，直到达到其输出范围的上限。为了使电路正确工作(v_- =v₊ )，v₊ /v_O必须小于1。在v_O到R_f+处施加过大的电压将影响到v_I乘v_O，也就是：

这是施加到R_f+的反馈电压必须降低的数值。

为了使正反馈路径实现这个压降，可以将R_f+分解成两个串联电阻R_fR_s 和 R_s。除了R_fR_s 中的 i_B电流外，使得R_s上流经额外的电流(i_L)便能实现额外的压降。

为了通过分离i_L和i_B简化电流，中间电路有一个 a ×1电压放大器插入到缓冲器i_B中，使得R_s中只流过i_L。电路如下所示。

在已知R_s及其电压v_s和电流i_s的情况下，

运放的输入电压等于：

和前面一样，其中的i_I =i_I=i_I+。然后替代v_L，得到以下的输入电压公式：

最终的输出电流：

i_L独立于v_L；上面的i_L公式中没有出现v_L，公式只与v_I有关。如果R_L增加造成v_L增加，那么放大是围绕正反馈环路实现的。v_L中的v_l增量变化被放大，并以下面的增量幅度改变v_O：

H₊是从v_O到v₊的正路径反馈除数。然后v₊被放大同相运放增益A_v+倍。结果是，从v_l到v_O的增益等于1；v_O随v_l变化，并自举提升v_L电压，因此v_S不发生改变。这样，i_S保持不变，v_L由于这个自举行为不影响i_L。

最后，在没有×1缓冲器的情况下，我们可以有下图所示的Howland电流源。R_f+被分解为两个串联电阻R_fR_s和R_s，因此总电阻保持与前面相同，以满足电流源条件。

在缓冲源上面增加的复杂性表现为如今i_L和i_B是不分开的，而是一起流经R_s，其值为：

不过这两个电流还是可以通过应用一些源平移定理等电路操作分开来。将R_s分解成i_L 和 i_B,两个电路，如下图所示。左图是反馈电路的一部分，右图是输出电路的一部分。

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