众所周知，二维平面直角坐标系中的面积微元转换为平面极坐标系有

为什么？

尝试下证明 ：

先列出x,y与r,

之间的关系

，

微分一下

，

得到了

什么？你说你不知道第三行怎么来的？我也不知道。。。

于是这波看似100%能成功的证明就以失败告终了。

有厉害的小伙伴指出了，这里的面积微分并不是这么定义的，而应该是外积，在运算法则上的不同造成了证明中的错误。

那换个角度，这也是我最先对于这个面积转换的理解(这也正是改变了运算法则，采用了外积的运算方式)：

这可以看作红色“矩形”的面积，

顺理成章。

可是这又跟dx,dy何干？唯一明显的联系就是 它们同样表示的是二维平面的面积微元。

下面是另外一种理解，或许可以解答这个疑惑。贴一段百度词条

非线性变换

线性变换、仿射变换使得向量空间上的点具有很好的性质，但是这些性质到了非线性变换就消失了。

举个例子：

。。。

那么该如何用矩阵来描述变换后向量张成的空间呢？

很明显的是，不能再用一个常数矩阵来描述了。每一个不同向量都有自己的矩阵变换，不妨就关注某个特定的向量，以及这个向量附近的向量。

因为是“附近”，所以这个向量在邻域内张成的空间可以看作是线性变换的，所以可以用一个特定的矩阵来描述。

在上述例子中，原空间由x,y的基矢构成，变换后的空间由

的基矢构成。

在线性变换中，我们作用的矩阵有精巧的几何意义,考虑一个线性变换

这就好像是我们输入一个向量

，经过一个变换

，输出了

。

那么可以输入一个原向量的单位向量

于是输出了

；同样地，输入一个

得到

，这说明了，组成空间的两个基矢经过的线性变换到了两个新的位置(可以与原先相同)。

在非线性变换中，我们不能保证所有“基矢”都到达同样的位置，但是也不需要，我们可以研究局部的性质。

既然是局部，我们就可以用线性的变换来拟合。

考察一个矢量

，经过了变换来到了

，对它进行邻域内的近似线性变换

(此处的

是小量)。

，这里的函数决定了变换矩阵

和平移量

。

现在做的只是完美确定了矢量

落在了该落的位置上(假设)，还需要做的事是把

附近的矢量准确落位。

设原空间中的基分别是

，变换后

;

这时如果我们输入一个

(

是小量)，也就相当把

函数改为

这就相当于对

中的x求偏导，显然有

，同样有

。

如果输入的是

，这也就要求了输出的是

为了让线性变换后也达到这个效果，我们需要作用一个矩阵，这个矩阵也就是雅可比矩阵(Jacobian Matrix)。

它具有如下形式(二维)：

这就符合了前面的要求：对这个矩阵作用一个小量(小的向量)

发现，作用了这个矩阵使得

在邻域内能满足：

也即

可这又跟一开始的面积微元有什么联系呢？

线性变换中的面积变换

高中阶段，我们接触最多的就是椭圆当中的伸缩变换

面积微元的变换很显然，

。

可是如果变换后的基矢并不正交(这也正是大部分情况)呢？

观察下

的变换矩阵：

，看到了变换后的面积微元与变换前的比值是这个矩阵的行列式

。

对于普遍的变换

前面已经提到，基矢来到了不同的位置rt

注意到单位面积变换到了平行四边形

的面积，这就非常好求了，只需要

，就得到了变换后的单位面积，所以微分形式是

，即面积变换需要乘上一个变换的矩阵的行列式。

也可以写成

(有用极了)

非线性的变换在局部具有线性的性质，我们讨论面积的微元，也就可以在线性的情况下解决。

我们要处理文章最开始的问题：

这个问题可以是，把由

构成的向量空间转换成固定且正交的基矢构成的空间，求在

处的面积微元表达形式。

这个非线性的变换可以表达成

也是

，我们考虑微小的面积，所以就用上了前面的雅可比矩阵。

在

处的雅可比矩阵写为：

所以在这个点附近的微小变化就可以用这个矩阵来描述。那我们假设一个微小变化为

(原空间中的微小变化)，产生一个微小的平行四边形(变换后的空间中)的面积就是

。

于是就证明了一开始的结论：

雅可比矩阵的应用就在于类似于这样的微分形式换元。

看一个问题：求

。

给出一种解法：

作换元

，得到了

这里就用到了

，当然也可以理解为面积元的转换，不过雅可比矩阵给出了很好的解释。

可以看到，

在第一象限，所以定义域在

。

算算完就是：

，得到了

。

这只是展示了很弱的运用，不过也有意义。(比较有用的看情况更)