1. 引言

2. Brinson单期归因模型

2.1 模型框架

	w_p	w_b
r_p	组合收益：w_p r_p	择股收益：w_b r_p
r_b	择时收益：w_p r_b	基准收益：w_b r_b

2.2 公式推导

R E = ∑ i = 1 n w i p r i p − ∑ i = 1 n w i b r i b = ∑ i = 1 n ( w i p r i p − w i b r i b ) = ∑ i = 1 n ( w i p r i b − w i b r i b + w i b r i p − w i b r i b + w i p r i p − w i p r i b − w i b r i p + w i b r i b ) = ∑ i = 1 n ( w i p − w i b ) r i b + ∑ i = 1 n w i b ( r i p − r i b ) + ∑ i = 1 n ( w i p − w i b ) ( r i p − r i b ) = R A + R S + R I R_{E}= \sum_{i=1}^{n}w_i^pr_i^p - \sum_{i=1}^{n}w_i^br_i^b \\ = \sum_{i=1}^{n} (w_i^pr_i^p - w_i^br_i^b) \\ = \sum_{i=1}^{n} (w_i^pr_i^b - w_i^br_i^b+ w_i^br_i^p-w_i^br_i^b+ w_i^pr_i^p- w_i^pr_i^b - w_i^br_i^p + w_i^br_i^b) \\ = \sum_{i=1}^{n} (w_i^p - w_i^b)r_i^b + \sum_{i=1}^{n} w_i^b(r_i^p-r_i^b) + \sum_{i=1}^{n}( w_i^p- w_i^b)(r_i^p- r_i^b )\\ =R_A + R_S + R_I RE=i=1∑nwiprip−i=1∑nwibrib=i=1∑n(wiprip−wibrib)=i=1∑n(wiprib−wibrib+wibrip−wibrib+wiprip−wiprib−wibrip+wibrib)=i=1∑n(wip−wib)rib+i=1∑nwib(rip−rib)+i=1∑n(wip−wib)(rip−rib)=RA+RS+RI
其中：
· R_E 为总超额收益；
· R_TS 为择时收益：
R T S = ∑ i = 1 n ( w i p − w i b ) r i b R_{TS} = \sum_{i=1}^{n} (w_i^p - w_i^b)r_i^b RTS=i=1∑n(wip−wib)rib

· R_SS 为择股收益：
R S S = ∑ i = 1 n w i b ( r i p − r i b ) R_{SS} = \sum_{i=1}^{n} w_i^b(r_i^p-r_i^b) RSS=i=1∑nwib(rip−rib)

· R_IE 为交互作用：
R I E = ∑ i = 1 n ( w i p − w i b ) ( r i p − r i b ) R_{IE} = \sum_{i=1}^{n}( w_i^p- w_i^b)(r_i^p- r_i^b ) RIE=i=1∑n(wip−wib)(rip−rib)

3. Brinson多期归因模型

3.1 模型框架

然而，各期之间存在复利效应，因此需要进行多期归因。多期可以理解为每一个单独周期的组合。

3.2 公式推导

在多期模型中，有两种推导方法，二者理解的角度不同，但是公式在本质上是等价的。

方法一：递推方法
1 + R t = ( 1 + r 1 ) ( 1 + r 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( 1 + r t ) = ( 1 + R t − 1 ) ( 1 + r t ) = 1 + R t − 1 + R t − 1 ( 1 + r t ) 1 + R_t = (1+ r_1)( 1 + r_2) ···(1 + r_t) \\ = ( 1 + R_{t-1})( 1+ r_t) = 1 + R_{t-1} + R_{t-1}( 1+ r_t) 1+Rt=(1+r1)(1+r2)⋅⋅⋅(1+rt)=(1+Rt−1)(1+rt)=1+Rt−1+Rt−1(1+rt)
规定 R₀ = 0，则上式变型后可以得到递推式：：
R t = R t − 1 + ( 1 + R t − 1 ) r t = R t − 2 + ( 1 + R t − 2 ) r t − 1 + ( 1 + R t − 1 ) r t = ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ τ = 1 t ( 1 + R τ − 1 ) r τ = ∑ τ = 1 t ( 1 + R τ − 1 ) ∑ i = 1 n w i τ r i τ R_t = R_{t-1} +( 1+ R_{t-1})r_t \\ = R_{t-2} + ( 1+ R_{t-2})r_{t-1} + (1 + R_{t-1})r_{t} \\ = \cdot\cdot\cdot \\ =\sum_{\tau = 1}^{t}(1+R_{\tau - 1})r_{\tau} \\ = \sum_{\tau = 1}^{t}(1+R_{\tau - 1}) \sum_{i = 1}^{n}{w_{i\tau}r_{i\tau}} Rt=Rt−1+(1+Rt−1)rt=Rt−2+(1+Rt−2)rt−1+(1+Rt−1)rt=⋅⋅⋅=τ=1∑t(1+Rτ−1)rτ=τ=1∑t(1+Rτ−1)i=1∑nwiτriτ

累计超额收益为：
R E ( t ) = R t p p − R t b b R_E(t) = R^{pp}_t - R^{bb}_t RE(t)=Rtpp−Rtbb

择时收益为：
R A ( t ) = R t p b − R t b b R_A(t) = R^{pb}_t - R^{bb}_t RA(t)=Rtpb−Rtbb

择股收益为：
R S ( t ) = R t b p − R t b b R_S(t) = R^{bp}_t - R^{bb}_t RS(t)=Rtbp−Rtbb

交互作用为：
R I ( t ) = R E ( t ) − R A ( t ) − R S ( t ) R_I(t) = R_E(t) - R_A(t) - R_S(t) RI(t)=RE(t)−RA(t)−RS(t)

方法二：乘数因子方法
分别考虑 t 期的基准累计收益率 R^p 和组合累计收益率 R^b：
1 + R t p = ∏ τ = 1 t ( 1 + r τ p ) 1 + R t b = ∏ τ = 1 t ( 1 + r τ b ) 1 + R_t^p = \prod _{\tau=1} ^ t (1+ r_{\tau}^p) \\ 1 + R_t^b = \prod _{\tau=1} ^ t (1+ r_{\tau}^b) 1+Rtp=τ=1∏t(1+rτp)1+Rtb=τ=1∏t(1+rτb)
对两边取对数运算：
ln ( 1 + R t p ) = ∑ τ = 1 t ln ( 1 + r τ p ) ln ( 1 + R t b ) = ∑ τ = 1 t ln ( 1 + r τ b ) \text{ln}( 1 + R_t^p ) = \sum _{\tau=1} ^ t \text{ln}(1+ r_{\tau}^p) \\ \text{ln}( 1 + R_t^b ) = \sum _{\tau=1} ^ t \text{ln}(1+ r_{\tau}^b) ln(1+Rtp)=τ=1∑tln(1+rτp)ln(1+Rtb)=τ=1∑tln(1+rτb)
两者相减：
ln ( 1 + R t p ) − ln ( 1 + R t b ) = ∑ τ = 1 t [ ln ( 1 + r τ p ) − ln ( 1 + r τ b ) ] \text{ln}( 1 + R_t^p ) - \text{ln}( 1 + R_t^b ) = \sum _{\tau=1} ^ t [\text{ln}(1+ r_{\tau}^p) -\text{ln}(1+ r_{\tau}^b) ] ln(1+Rtp)−ln(1+Rtb)=τ=1∑t[ln(1+rτp)−ln(1+rτb)] ln ( 1 + R t p ) − ln ( 1 + R t b ) R t p − R t b ⋅ ( R t p − R t b ) = ∑ τ = 1 t [ ln ( 1 + r τ p ) − ln ( 1 + r τ b ) ] r τ p − r τ b ⋅ ( r t p − r t b ) \frac{\text{ln}( 1 + R_t^p ) - \text{ln}( 1 + R_t^b ) } { R_t^p - R_t^b} \cdot (R_t^p - R_t^b) = \sum _{\tau=1} ^ t \frac{[\text{ln}(1+ r_{\tau}^p) -\text{ln}(1+ r_{\tau}^b) ] }{r_{\tau}^p - r_{\tau}^b } \cdot (r_t^p - r_t^b) Rtp−Rtbln(1+Rtp)−ln(1+Rtb)⋅(Rtp−Rtb)=τ=1∑trτp−rτb[ln(1+rτp)−ln(1+rτb)]⋅(rtp−rtb)
定义乘数因子：
F t = ln ( 1 + R t p ) − ln ( 1 + R t b ) R t p − R t b F_t = \frac{\text{ln}( 1 + R_t^p ) - \text{ln}( 1 + R_t^b ) } { R_t^p - R_t^b} Ft=Rtp−Rtbln(1+Rtp)−ln(1+Rtb) f t = ln ( 1 + r t p ) − ln ( 1 + r t b ) r t p − r t b f_t = \frac{\text{ln}( 1 + r_t^p ) - \text{ln}( 1 + r_t^b ) } { r_t^p - r_t^b} ft=rtp−rtbln(1+rtp)−ln(1+rtb)
则有：
R t p − R t b = ∑ τ = 1 t f τ F t ( r t p − r t b ) R_t^p - R_t^b = \sum _{\tau=1} ^ t \frac{f_\tau}{ F_t} (r_t^p - r_t^b) Rtp−Rtb=τ=1∑tFtfτ(rtp−rtb)
至此，累计超额收益可以看成一系列因子调整后的单期超额收益的和。由第二章中关于单期Brinson模型超额收益分解的公式，可以将上述公式改写为：
R E ( t ) = R t p − R t b = ∑ τ = 1 t f τ F t ( R A , τ + R S , τ + R I , τ ) = ∑ τ = 1 t f τ F t R A , τ + ∑ τ = 1 t f τ F t R S , τ + ∑ τ = 1 t f τ F t R I , τ R_E(t) = R_t^p - R_t^b = \sum _{\tau=1} ^ t \frac{f_\tau}{ F_t} (R_{A, \tau} + R_{S, \tau} + R_{I, \tau}) \\ = \sum _{\tau=1} ^ t \frac{f_\tau}{ F_t} R_{A, \tau} + \sum _{\tau=1} ^ t \frac{f_\tau}{ F_t} R_{S, \tau} + \sum _{\tau=1} ^ t \frac{f_\tau}{ F_t} R_{I, \tau} RE(t)=Rtp−Rtb=τ=1∑tFtfτ(RA,τ+RS,τ+RI,τ)=τ=1∑tFtfτRA,τ+τ=1∑tFtfτRS,τ+τ=1∑tFtfτRI,τ = R A ( t ) + R S ( t ) + R I ( t ) = R_A (t) + R_S(t) + R_I(t) =RA(t)+RS(t)+RI(t)
其中：
· R_E(t) 为 t 个子时间段内组合相对于基准的累计超额收益，表达式为：
R E ( t ) = R t p − R t b R_E(t) = R_t^p - R_t^b RE(t)=Rtp−Rtb

· R_A(t) 为 t 个子时间段内组合的择时收益，表达式为：
R A ( t ) = ∑ τ = 1 t f τ F t R A , τ R_A (t) = \sum _{\tau=1} ^ t \frac{f_\tau}{ F_t} R_{A, \tau} RA(t)=τ=1∑tFtfτRA,τ

· R_S(t) 为 t 个子时间段内组合的择股收益，表达式为：
R S ( t ) = ∑ τ = 1 t f τ F t R S , τ R_S (t) = \sum _{\tau=1} ^ t \frac{f_\tau}{ F_t} R_{S, \tau} RS(t)=τ=1∑tFtfτRS,τ

· R_I(t) 为 t 个子时间段内组合的交互作用，表达式为：
R I ( t ) = ∑ τ = 1 t f τ F t R I , τ R_I (t) = \sum _{\tau=1} ^ t \frac{f_\tau}{ F_t} R_{I, \tau} RI(t)=τ=1∑tFtfτRI,τ

4. Brinson模型的应用场景

4.1 基金组合绩效归因

我们可以通过择时收益和择股收益，判断组合超额收益的来源，从而可以进一步发挥投资长处，并弥补短板。

4.2 基金经理能力刻画

Brinson模型的归因结果也可以对管理基金的基金经理能力进行刻画。例如，我们可以计算某基金经理在某段时期内的择股与择时收益序列，分别并计算这两个收益序列的均值和方差，从而量化基金经理的择时与择股的正向性与稳定性。

4.3 大类资产配置应用

除了对权益类资产进行行业等风格归因以外，我们还可以将Brinson模型应用到大类资产配置这一更大的层面上来。从资产配置的视角来看，基准配置可以是多个可投类别资产的加权组合。例如：某一基金可投资产包括五类资产：权益类（A股市场）、固收类（国债、金融债、地方债、企业债）、商品类（黄金）、货币类（国债逆回购、货币基金、中短期定期存款等）和另类资产（房地产、REITS），那么可以规定基准组合为：20%中证800ETF，20%国债ETF，20%黄金ETF，20%国债逆回购和20%REITs基金。这里我只是给出一个方便说明的例子，具体的基准权重和组合标的设置需要结合基金设立的投资目标、风格和相关法律法规限制来设定。需要特别注意的是，基准组合的选择一定要具有可投性（Inestimable）。

大类资产基准组合设置好后，与权益型基金的归因方式类似，可以利用Brinson模型将组合的超额收益分解为配置收益(Allocation)、择券收益(Selection)和交互作用(Interaction)。其中，大类资产的配置收益实际上就是权益性基金的择时收益，是战术性超低配置各类资产所产生的超额收益；而择券收益则是每一类资产组中由于精选优质标的所获得的超额收益。

5. 模型的实现与实证案例研究

关于模型的编程实现与实证研究部分，请详见后续文章：

[1] 【基金量化研究系列】基金绩效归因模型——Brinson多期归因模型之python实现

写在最后

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