Pegged  即ural 1051

【Description】

Hades_Fei和他的MM都很喜欢一种叫做Pegged的游戏，这种游戏的中文名字叫做孔明棋（见KongMing_Chess.rar），但是MM觉得Hades_Fei的智商玩这种游戏太小意思了，所以她对这个游戏做了一下小小的改变，在一个无限大的棋盘的格子上有一些棋子，这些棋子构成一个M*N的矩形(M为高度，N为宽度)。请你求出最后最少能剩下几个棋子。

这可难倒了Hades_Fei，所以他需要Hzoiers的帮助…

注：孔明棋的游戏规则：你可以用一个棋子跳过另一个相邻的棋子，被跳过的棋子将被删除。

【Input Format】

本题有多组数据。对于每组数据，仅有一行，两个正整数M，N，最后一行M=N=0，无需处理此行数据。

【Output Format】

对于每组数据，一个正整数，表示最少剩下的棋子数。

【Sample Input】

3 4

0 0

【Sample Output】

2

【Data】

这道题，就是一个找规律。

所谓找规律，就是这样。

【Pegged】

最简单的情况是N=1或者M=1的时候，答案肯定是 (n+M)div 2 。不管怎么跳，最后剩下的状态肯定是010101····。

当M=2的时候，N=2,3时分别剩下1个和2个。

M=3的时候，我们可以发现一个很牛逼的方案：

第一步将红色石子跳到1，吃掉3位置的石子，然后把2位子的石子跳到3，吃掉中间的那个石子，然后红色石子跳回到左上角，吃掉3位置的新石子。这样第二行的石子就被吃完了，而红色石子仍然在原来的位置。

也就是说，对于任意三个连续石子，如果它的边上有一个石子，那么这三个石子就能被吃完。

但是对于边界的三个石子则不一定能被消完。比如对于3×3的棋盘，先把第一行剩下一个，然后消第二行，最后把第三行消剩下一个，这样最后只能剩下两个。证明3*3只能剩下2个，可以顺便得出本题结论。

对棋盘内的格子进行染色（建立坐标）。a为(X+Y) mod 3=1的石子个数，b为余2的个数,c为余0的个数。那么每次跳石子，都会使a,b,c中两数减一，一数加一。也就是说这三个数的奇偶性是同步变化的。

当 N*M mod 3 = 0时，a=b=c，这时候反证之。如果最后能只剩下一个，那么a,b,c中必定有两数为0，一个为1，这与三个数的奇偶性矛盾。

进一步考虑 N*M mod 3 <> 0的情况，这时候初始情况必有一个数与其它两个数奇偶性不同，那么理论上可以达到0，0，1的状态。验证比较小的棋盘都最后得到了1个石子。那么就来证明它的成立。下面的证明是比较简单的了。

当(N > 2) and (M > 2)时，如果N*M mod 3 = 0，可证明一定能化成2*3的情况，也就是剩下两个。

如果N*M mod 3 <> 0，可证明一定能化到2*2或2*4或4*4的情况，也就是只剩一个。

上面的“可证明”，其实只是从边界开始吃石子。方案很好画，只是分类讨论烦了一点。

所以，这样代码就好说了。

var n,m:longint;

begin

assign(input,'Pegged.in');reset(input);

assign(output,'Pegged.out');rewrite(output);

read(n,m);

while(n<>0)and(m<>0)do

begin

if(n=1)or(m=1)then writeln((n+m)div 2)

else if((n*m)mod 3=0)then writeln(2)

else writeln(1);

readln(n,m);

end;

close(input);

close(output);

end.