拉格朗日的原始问题是minw,bmaxλLmin_{w,b} max_{\lambda} Lminw,bmaxλL
对偶问题是maxλminw,bLmax_{\lambda} min_{w,b}Lmaxλminw,bL

	原问题	拉格朗日	对偶问题	分界面	最终参数
hard margin	minw12∥w∥2min_w \frac{1}{2}\\|w\\|^2minw21∥w∥2约束yi(wTxi)>=1,对任意iy^i(w^Tx^i)>=1,对任意iyi(wTxi)>=1,对任意i	L(λi,w,b)=Σi=1Nλi(1−yi(wTxi+b))++12∥w∥2L(\lambda_i,w,b)=\Sigma_{i=1}^N\lambda_i(1-y^i(w^Tx^i+b))_++\frac{1}{2} \\|w\\|^2L(λi,w,b)=Σi=1Nλi(1−yi(wTxi+b))++21∥w∥2	maxλθD(λ)=Σi=1nλi−12Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txjmax_\lambda \theta_D(\lambda)=\Sigma_{i=1}^n\lambda_i-\frac{1}{2}\Sigma_{i,j=1}^ny^iy^j\lambda_i\lambda_j(x^i)^Tx^jmaxλθD(λ)=Σi=1nλi−21Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txj约束：λi>=0;Σi=1nλiyi=0\lambda_i>=0;\Sigma_{i=1}^n\lambda_iy^i=0λi>=0;Σi=1nλiyi=0	b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj=0b+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i y^i (x^i)^Tx^j=0b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj=0	w∗=Σi=1nλi∗yixi;b∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txjw=\Sigma_{i=1}^n \lambda_iy^ix^i;b=y^j-\Sigma_{i=1}^n\lambda_i y^i (x^i)^Tx^jw∗=Σi=1nλi∗yixi;b∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txj
soft	minw12∥w∥2+CΣi=1nξimin_w \frac{1}{2}\\|w\\|^2+C\Sigma_{i=1}^n\xi_iminw21∥w∥2+CΣi=1nξi约束yi(wTxi)>=1−ξi,ξi≥0,对任意iy^i(w^Tx^i)>=1-\xi_i,\xi_i \geq 0,对任意iyi(wTxi)>=1−ξi,ξi≥0,对任意i	L(λi,ηi,ξ,w,b)=Σi=1Nλi(1−yi(wTxi+b)−ξi)−Σi=1nηiξi+12∥w∥2L(\lambda_i,\eta_i,\xi,w,b)=\Sigma_{i=1}^N\lambda_i(1-y^i(w^Tx^i+b)-\xi_i)-\Sigma_{i=1}^n\eta_i \xi_i+\frac{1}{2} \\|w\\|^2L(λi,ηi,ξ,w,b)=Σi=1Nλi(1−yi(wTxi+b)−ξi)−Σi=1nηiξi+21∥w∥2	maxλθD(λ)=Σi=1nλi−12Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txjmax_\lambda \theta_D(\lambda)=\Sigma_{i=1}^n\lambda_i-\frac{1}{2}\Sigma_{i,j=1}^ny^iy^j\lambda_i\lambda_j(x^i)^Tx^jmaxλθD(λ)=Σi=1nλi−21Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txj 约束：0≤λi≤C=λi+ηi(ηi>=0);Σi=1nλiyi=00 \leq \lambda_i\leq C=\lambda_i+\eta_i(\eta_i>=0);\Sigma_{i=1}^n\lambda_iy^i=00≤λi≤C=λi+ηi(ηi>=0);Σi=1nλiyi=0	b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj=0b+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i y^i (x^i)^Tx^j=0b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj=0	w∗=Σi=1nλi∗yixi;b∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txjw=\Sigma_{i=1}^n \lambda_iy^ix^i;b=y^j-\Sigma_{i=1}^n\lambda_i y^i (x^i)^Tx^jw∗=Σi=1nλi∗yixi;b∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txj
kernel	-	-	θD(λ)=Σi=1nλi−12Σi,j=1nyiyjλiλjK(xi,xj)\theta_D(\lambda)=\Sigma_{i=1}^n\lambda_i-\frac{1}{2}\Sigma_{i,j=1}^ny^iy^j\lambda_i\lambda_jK(x^i,x^j)θD(λ)=Σi=1nλi−21Σi,j=1nyiyjλiλjK(xi,xj)约束：λi>=0;Σi=1nλiyi=0\lambda_i>=0;\Sigma_{i=1}^n\lambda_iy^i=0λi>=0;Σi=1nλiyi=0	w∗=Σi=1nλi∗yixib∗=yj−Σi=1nλi∗yiK(xi,xj)w=\Sigma_{i=1}^n \lambda_iy^ix^i\\b=y^j-\Sigma_{i=1}^n\lambda_i y^i K(x^i,x^j)w∗=Σi=1nλi∗yixib∗=yj−Σi=1nλi∗yiK(xi,xj)

hard margin

原问题
- minw12∣∣w∣∣2min_w \frac{1}{2}||w||^2minw21∣∣w∣∣2
- 约束yi(wTxi)>=1,对任意iy^i(w^Tx^i)>=1,对任意iyi(wTxi)>=1,对任意i
- 拉格朗日：
  - L(λi,w,b)=Σi=1Nλi(1−yi(wTxi+b))++12∣∣w∣∣2L(\lambda_i,w,b)=\Sigma_{i=1}^N\lambda_i(1-y^i(w^Tx^i+b))_++\frac{1}{2} ||w||^2L(λi,w,b)=Σi=1Nλi(1−yi(wTxi+b))++21∣∣w∣∣2(拉格朗日问题)
- 损失函数
  - Σi=1Ni(1−yi(wTxi+b))++λ∣∣w∣∣2\Sigma_{i=1}^Ni(1-y^i(w^Tx^i+b))_++\lambda||w||^2Σi=1Ni(1−yi(wTxi+b))++λ∣∣w∣∣2
- 目标函数（hinge loss function)
  - (1−yi(wTxi+b))+(1-y^i(w^Tx^i+b))_+(1−yi(wTxi+b))+
得到对偶形式：
- θD(λ)=Σi=1nλi−12Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txj\theta_D(\lambda)=\Sigma_{i=1}^n\lambda_i-\frac{1}{2}\Sigma_{i,j=1}^ny^iy^j\lambda_i\lambda_j(x^i)^Tx^jθD(λ)=Σi=1nλi−21Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txj
- 约束：λi>=0;Σi=1nλiyi=0\lambda_i>=0;\Sigma_{i=1}^n\lambda_iy^i=0λi>=0;Σi=1nλiyi=0
- 时间复杂度O(N3)O(N^3)O(N3)
- 空间复杂度O(N2)O(N^2)O(N2)
最终结果
- w∗=Σi=1nλi∗yixiw*=\Sigma_{i=1}^n \lambda_i*y^ix^iw∗=Σi=1nλi∗yixi
- b∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txjb*=y^j-\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i (x^i)^Tx^jb∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txj
- 所以分离超平面为：b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj=0b*+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i (x^i)^Tx^j=0b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj=0
- 决策函数：fw,b=sign(b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj)f_{w,b}=sign(b*+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i (x^i)^Tx^j)fw,b=sign(b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj)
转化为对偶问题会简单化（原问题复杂度高）
- 拉格朗日的原始问题是minw,bmaxλLmin_{w,b} max_{\lambda} Lminw,bmaxλL
- 对偶问题是maxλminw,bLmax_{\lambda} min_{w,b}Lmaxλminw,bL
  - 对偶问题：
  - 消去w/bθD(w)=minw,bL\theta_D(w)=min_{w,b}LθD(w)=minw,bL
    - 求梯度
      - ∂L∂w=w−Σi=1nλiyixi=0\frac{\partial L}{\partial w}=w-\Sigma_{i=1}^n \lambda_iy^ix^i=0∂w∂L=w−Σi=1nλiyixi=0
        
        w=Σi=1nλiyixiw=\Sigma_{i=1}^n \lambda_iy^ix^iw=Σi=1nλiyixi
      - ∂L∂b=−Σi=1nλiyi=0\frac{\partial L}{\partial b}=-\Sigma_{i=1}^n \lambda_iy^i=0∂b∂L=−Σi=1nλiyi=0
        Σi=1nλiyi=0\Sigma_{i=1}^n \lambda_iy^i=0Σi=1nλiyi=0
    - 结果带入L–得到对偶问题
      - θD(λ)=Σi=1nλi−12Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txj\theta_D(\lambda)=\Sigma_{i=1}^n\lambda_i-\frac{1}{2}\Sigma_{i,j=1}^ny^iy^j\lambda_i\lambda_j(x^i)^Tx^jθD(λ)=Σi=1nλi−21Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txj
      - 约束：λi>=0;Σi=1nλiyi=0\lambda_i>=0;\Sigma_{i=1}^n\lambda_iy^i=0λi>=0;Σi=1nλiyi=0
  - 再求最大d∗<−−maxλθD(w)d^*<--max_{\lambda}\theta_D(w)d∗<−−maxλθD(w)
    - 由新的对偶问题求极值点，得到最优解$\lambda* $
      - 由此可以找到w∗,b∗w*,b*w∗,b∗
      - w∗=Σi=1nλi∗yixiw*=\Sigma_{i=1}^n \lambda_i*y^ix^iw∗=Σi=1nλi∗yixi
      - b∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txjb*=y^j-\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i (x^i)^Tx^jb∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txj
      - 所以分离超平面为：b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Tx=0b*+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i (x^i)^Tx=0b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Tx=0
      - 决策函数：fw,b(x)=sign(b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Tx)f_{w,b}(x)=sign(b*+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i (x^i)^Tx)fw,b(x)=sign(b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Tx)
      - 可以看出
        只受到支持向量的影响（其他的λ=0\lambda=0λ=0
        
        正样本y=1,负样本y=-1,正样本对w起正向作用，负样本起负向作用

soft margin

问题描述
- minw12∣∣w∣∣2+CΣi=1nξimin_w \frac{1}{2}||w||^2+C\Sigma_{i=1}^n\xi_iminw21∣∣w∣∣2+CΣi=1nξi
- 约束yi(wTxi)>=1−ξi,ξi≥0,对任意iy^i(w^Tx^i)>=1-\xi_i,\xi_i \geq 0,对任意iyi(wTxi)>=1−ξi,ξi≥0,对任意i
- 凸函数的QP问题
- 对应拉格朗日函数：
  - L(λi,ηi,ξ,w,b)=Σi=1Nλi(1−yi(wTxi+b)−ξi)−Σi=1nηiξi+12∣∣w∣∣2L(\lambda_i,\eta_i,\xi,w,b)=\Sigma_{i=1}^N\lambda_i(1-y^i(w^Tx^i+b)-\xi_i)-\Sigma_{i=1}^n\eta_i \xi_i+\frac{1}{2} ||w||^2L(λi,ηi,ξ,w,b)=Σi=1Nλi(1−yi(wTxi+b)−ξi)−Σi=1nηiξi+21∣∣w∣∣2
得到对偶形式：
- maxθD(λ)=Σi=1nλi−12Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txjmax\theta_D(\lambda)=\Sigma_{i=1}^n\lambda_i-\frac{1}{2}\Sigma_{i,j=1}^ny^iy^j\lambda_i\lambda_j(x^i)^Tx^jmaxθD(λ)=Σi=1nλi−21Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txj
- 约束：0≤λi≤C=λi+ηi(ηi>=0);Σi=1nλiyi=00 \leq \lambda_i\leq C=\lambda_i+\eta_i(\eta_i>=0);\Sigma_{i=1}^n\lambda_iy^i=00≤λi≤C=λi+ηi(ηi>=0);Σi=1nλiyi=0
- 原来λi\lambda_iλi可以无限大，因为线性可分
- C–容忍度是有限的，对应了λi\lambda_iλi–C越大越苛刻，margin越小，容忍度越小
  - C的三种理解方式
    - 容忍度
      - 在中间范围内也算是分错了的点
      - C-会有多少个分错的点，C大容忍度小
    - 对ξ\xiξ的惩罚，C越大，惩罚越大，越苛刻
    - C=12λ,与λ是相反的，λ大，希望模型不要太复杂，也就是C小的情况C=\frac{1}{2\lambda},与\lambda是相反的，\lambda大，希望模型不要太复杂，也就是C小的情况C=2λ1,与λ是相反的，λ大，希望模型不要太复杂，也就是C小的情况
  - 回忆KKT
    - λi∗fi(w∗)=0andηi∗ξi=0\lambda_i*f_i(w*)=0 and \eta_i*\xi_i=0λi∗fi(w∗)=0andηi∗ξi=0
    - λi∗=0==>yi(b∗+w∗Txi)>1,在正确的地方\lambda_i*=0==>y^i(b*+w*^Tx^i)>1,在正确的地方λi∗=0==>yi(b∗+w∗Txi)>1,在正确的地方
      - λi∗=0==>ηi∗=C>0==>ξ=0==>yi(b∗+w∗Txi)>1−ξ=1,在正确的地方\lambda_i*=0==>\eta_i*=C>0==>\xi=0==>y^i(b*+w*^Tx^i)>1-\xi=1,在正确的地方λi∗=0==>ηi∗=C>0==>ξ=0==>yi(b∗+w∗Txi)>1−ξ=1,在正确的地方
    - 0<λi∗<C==>yi(b∗+w∗Txi)=1,在边界上−−−支持向量0<\lambda_i*<C==>y^i(b*+w*^Tx^i)=1,在边界上---支持向量0<λi∗<C==>yi(b∗+w∗Txi)=1,在边界上−−−支持向量
      - λi∗>0==>ηi∗=C−λi∗>0==>ξ=0==>yi(b∗+w∗Txi)=1−ξ=1,在正确的地方\lambda_i*>0==>\eta_i*=C-\lambda_i*>0==>\xi=0==>y^i(b*+w*^Tx^i)=1-\xi=1,在正确的地方λi∗>0==>ηi∗=C−λi∗>0==>ξ=0==>yi(b∗+w∗Txi)=1−ξ=1,在正确的地方
    - λi∗=C>0,ηi=0==>ξ>0==>yi(b∗+w∗Txi)=1−ξ<=1在错误的地方\lambda_i*=C>0,\eta_i=0==>\xi>0==>y^i(b*+w*^Tx^i)=1-\xi<=1在错误的地方λi∗=C>0,ηi=0==>ξ>0==>yi(b∗+w∗Txi)=1−ξ<=1在错误的地方
最终结果
- w∗=Σi=1nλi∗yixiw*=\Sigma_{i=1}^n \lambda_i*y^ix^iw∗=Σi=1nλi∗yixi
- b∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txjb*=y^j-\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i (x^i)^Tx^jb∗=yj−Σi=1nλi∗yi(xi)Txj
- 所以分离超平面为：b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj=0b*+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i (x^i)^Tx^j=0b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj=0
- 决策函数：fw,b=sign(b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj)f_{w,b}=sign(b*+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i (x^i)^Tx^j)fw,b=sign(b∗+Σi=1nλi∗yi(xi)Txj)

kernel SVM

得到对偶形式：
- θD(λ)=Σi=1nλi−12Σi,j=1nyiyjλiλjK(xi,xj)\theta_D(\lambda)=\Sigma_{i=1}^n\lambda_i-\frac{1}{2}\Sigma_{i,j=1}^ny^iy^j\lambda_i\lambda_jK(x^i,x^j)θD(λ)=Σi=1nλi−21Σi,j=1nyiyjλiλjK(xi,xj)
- 约束：λi>=0;Σi=1nλiyi=0\lambda_i>=0;\Sigma_{i=1}^n\lambda_iy^i=0λi>=0;Σi=1nλiyi=0
  - w∗=Σi=1nλi∗yixiw*=\Sigma_{i=1}^n \lambda_i*y^ix^iw∗=Σi=1nλi∗yixi
  - b∗=yj−Σi=1nλi∗yiK(xi,xj)b*=y^j-\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i K(x^i,x^j)b∗=yj−Σi=1nλi∗yiK(xi,xj)
  - 所以分离超平面为：b∗+Σi=1nλi∗yiK(xi,x)=0b*+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i K(x^i,x)=0b∗+Σi=1nλi∗yiK(xi,x)=0
  - 决策函数：fw,b(x)=w∗Tϕ(x)+b∗=sign(b∗+Σi=1nλi∗yiK(xi,x)）f_{w,b}(x)=w*^T\phi(x)+b*=sign(b*+\Sigma_{i=1}^n\lambda_i* y^i K(x^i,x)）fw,b(x)=w∗Tϕ(x)+b∗=sign(b∗+Σi=1nλi∗yiK(xi,x)）
常见几种核
1. hillbert space：可以再生任意函数（最重要的）
* ϕ(x)=K(⋅,x)K(x,z)=K(⋅,x)⋅K(⋅,z)=ϕ(x)Tϕ(z)再生性：f(⋅)=Σi=1mαiK(⋅,xi)f(⋅)K(⋅,x)=Σi=1mαiK(x,xi)=f(x)，都是这个空间的两个函数\phi(x)=K(·,x)\\K(x,z)=K(·,x)·K(·,z)=\phi(x)^T\phi(z)\\再生性：f(·)=\Sigma_{i=1}^m\alpha_iK(·,x^i)\\f(·)K(·,x)=\Sigma_{i=1}^m\alpha_iK(x,x^i)=f(x)，都是这个空间的两个函数ϕ(x)=K(⋅,x)K(x,z)=K(⋅,x)⋅K(⋅,z)=ϕ(x)Tϕ(z)再生性：f(⋅)=Σi=1mαiK(⋅,xi)f(⋅)K(⋅,x)=Σi=1mαiK(x,xi)=f(x)，都是这个空间的两个函数
2. 多项式核K(x,z)=(xTz+1)pK(x,z)=(x^Tz+1)^pK(x,z)=(xTz+1)p
3. 高斯核：K(x,z)=exp{−∥x−z∥22σ2}K(x,z)=exp\{-\frac{\|x-z\|^2}{2\sigma^2}\}K(x,z)=exp{−2σ2∥x−z∥2}–radial basis function(RBF)
* K(x,z)=exp{−dist(x,z)2σ2}K(x,z)=exp\{-\frac{dist(x,z)}{2\sigma^2}\}K(x,z)=exp{−2σ2dist(x,z)}
* f(x)=sign(Σi=1nαi∗yiexp{−∥x−z∥22σ2}+b∗)f(x)=sign(\Sigma_{i=1}^n\alpha_i^*y^iexp\{-\frac{\|x-z\|^2}{2\sigma^2}\}+b^*)f(x)=sign(Σi=1nαi∗yiexp{−2σ2∥x−z∥2}+b∗)
4. Sigmoid kernel：K(x,x′)=tanh(2xTx′+1)K(x,x')=tanh(2x^Tx'+1)K(x,x′)=tanh(2xTx′+1)

4.SMO–可以快速求解svm

用对偶形式
得到对偶形式：
- θD(λ)=Σi=1nλi−12Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txj\theta_D(\lambda)=\Sigma_{i=1}^n\lambda_i-\frac{1}{2}\Sigma_{i,j=1}^ny^iy^j\lambda_i\lambda_j(x^i)^Tx^jθD(λ)=Σi=1nλi−21Σi,j=1nyiyjλiλj(xi)Txj
- 约束：λi>=0;Σi=1nλiyi=0\lambda_i>=0;\Sigma_{i=1}^n\lambda_iy^i=0λi>=0;Σi=1nλiyi=0
Coordinate Ascent:每一次仅对一个λi\lambda_iλi求最大，从i=1,2,…,n
- 可以直接用在svm上吗？
  - 不可以，λ\lambdaλ之间是线性相关的。
- 改进：每次对一对，其他n-2个固定，求最大。
SMO
- 每次对一对，其他n-2个固定：λ1y1+λ2y2=−Σi=3Nαiyi=C\lambda_1y^1+\lambda_2y^2=-\Sigma_{i=3}^N\alpha_iy^i=Cλ1y1+λ2y2=−Σi=3Nαiyi=C
  - λ1=(C−λ2y2)y1\lambda_1=(C-\lambda_2y^2)y^1λ1=(C−λ2y2)y1
  - L((C−λ2y2)y1,λ2,...,λN），先忽略约束求导，得到λ2new,unclipped，再加上约束L((C-\lambda_2y^2)y^1,\lambda_2,...,\lambda_N），先忽略约束求导，得到\lambda_2^{new,unclipped}，再加上约束L((C−λ2y2)y1,λ2,...,λN），先忽略约束求导，得到λ2new,unclipped，再加上约束
  - 用λ2更新λ1:λ1new=λ1old(λ2old−λ2new)y2y1用\lambda_2更新\lambda_1:\lambda_1^{new}=\lambda_1^{old}(\lambda_2^{old}-\lambda_2^{new})y^2y^1用λ2更新λ1:λ1new=λ1old(λ2old−λ2new)y2y1
- 从那一对开始呢？
  - 最优的λ\lambdaλ肯定是满足KKT条件的
    - λi=0<==>yig(xi)>=1\lambda_i=0<==>y^ig(x^i)>=1λi=0<==>yig(xi)>=1
    - 0<λi<C<==>yig(xi)=10<\lambda_i<C<==>y^ig(x^i)=10<λi<C<==>yig(xi)=1
    - λi=C<==>yig(xi)<=1\lambda_i=C<==>y^ig(x^i)<=1λi=C<==>yig(xi)<=1
      - g(xi)=Σj=1NαjyjK(xi,xj)+bg(x_i)=\Sigma_{j=1}^N\alpha_jy^jK(x^i,x^j)+bg(xi)=Σj=1NαjyjK(xi,xj)+b
  - 每次选择违背KKT条件最大的
    - 从0<λi<C0<\lambda_i<C0<λi<C的开始，违背最多的选择一个
    - 第二个有固定准则来选：E1-E2
      - Ei=g(xi)−yiE_i=g(x^i)-y^iEi=g(xi)−yi

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