淘宝的“双十一”购物节有各种促销活动，比如“满 200 元减 50 元”。假设你的购物车中有 n 个（n>100）想买的商品，希望从里面选几个，在凑够满减条件的前提下，让选出来的商品价格总和最大程度地接近满减条件（200 元），这样就可以极大限度地“薅羊毛”。

回溯法

我们假设购物满w元才能减。例如满500减200，那w=500。购物车中商品的价格int[] price表示。每次决定第i个物品要不要购买，当物品选完了或者总价够w，停止选择。比较选中物品价格总和最低的一组选择。这是一个多阶段决策最优化问题。可以先用回溯算法解决。

public class Shopping {private int[] price = new int[]{198,201,345,200};private int w = 500;private int minPrice = Integer.MAX_VALUE;private List<Integer> selectItems;private void f (int i,int priceSum,boolean[] shoppingStatus){if(priceSum>w){if(priceSum<minPrice){minPrice = priceSum;selectItems = new ArrayList<Integer>();for(int j=0;j<shoppingStatus.length;j++){if(shoppingStatus[j]){selectItems.add(j);}}}return;}if(i==price.length) return;shoppingStatus[i] = true;f(i+1,priceSum+price[i],shoppingStatus);//选择第i件商品shoppingStatus[i] = false;f(i+1,priceSum,shoppingStatus);//不选择第i件商品}public void decision(){boolean[] shoppingStatus = new boolean[price.length];f(0,0,shoppingStatus);}
}

递归树

递归树中的每个节点是一个状态，用(i,preSum)表示。i表示将要处理第i个商品。preSum表示当前状态下已经购买商品的价格和。可以看到这里的状态表示的参数基本和f函数的参数是相同的。
在这个例子中，(i,preSum)相同的节点正好都只有一个，但不排除有多个节点的可能性。

状态表

根据(i,preSum)我们知道用一个二维表可以表示各种不同的状态。第一维（行）是商品下标，第二维（列）是商品总价。又因为题目要求价格和需要大于w，但我们又不能让商品和太大，太大优惠就没有必要了。我们需要给商品总价一个最大值3w。

状态表boolean[][] states。
第0个商品决策之后，states[0][0]=true；states[0][198]=true。
第1个商品决策之后，states[1][0]=true；states[1][201]=true；states[1][198]=true；states[1][399]=true；
…

我们在states[n-1]从下标w开始找值为true的元素下标。最先找到的就是符合要求的最小价格。
它与莱文斯坦距离、矩阵中的最短路径长度不同的地方是，不需要在每一步决策之后只保留最小值，其他节点放弃。
我想这里没有放弃其他节点，是因为这里的每一个状态可能就是最终答案。第i个商品是不是购买，和第i-1个商品决策之后的所有状态有关系。

 public void decisionDp(){int n = price.length;int maxw = 3*w;boolean[][] states = new boolean[n][maxw+1];states[0][0] = true;if(price[0]<maxw){states[0][price[0]] = true;}for(int i=1;i<n;i++){//不购买第i个for(int j=0;j<maxw+1;j++){if(states[i-1][j]){states[i][j] = true;}}//购买第i个for(int j = 0;j<maxw+1;j++){if(states[i-1][j]==true && j+price[i]<maxw){states[i][j+price[i]] = true;}}}int minPrice = -1;for(int j = w;j<maxw+1;j++){if(states[n-1][j]){minPrice = j;break;}}//说明有选择if(minPrice!=-1){System.out.println(minPrice);int j = minPrice;for(int i=n-1;i>=1;i--){if(j-price[i]>=0 && states[i-1][j-price[i]]){System.out.println(price[i]);//购买这件商品}}if(j!=0){System.out.println(price[0]);}}}

当然，这道题目还要一个难点是要输出选择了哪些商品。当我们知道满足要求的最低总价是minPrice。也就是说states[n-1][minPrice]=true。如果states[n-2][minPrice]=true，则说明第n-1号物品是被放弃的，不购买的。如果states[n-2][minPrice-price[n-1]]=true，说明是购买第n-1号商品的。继续递归往回查找。

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