优先队列——二项队列(binominal queue)
【0】README
0.1) 本文文字描述部分转自 数据结构与算法分析, 旨在理解 优先队列——二项队列(binominal queue) 的基础知识;
0.2) 本文核心的剖析思路均为原创(insert,merge和deleteMin的操作步骤图片示例), 源代码均为原创;
0.3) for original source code, please visit https://github.com/pacosonTang/dataStructure-algorithmAnalysis/tree/master/chapter6/p152_binominal_queue
【1】二项队列相关
1.0)Attention: 二项队列中不允许有高度相同的二项树存在该队列中;
1.1)problem+solution:
- 1.1.1)problem:虽然左式堆和斜堆每次操作花费O(logN)时间, 这有效地支持了合并, 插入和deleteMin, 但还是有改进的余地,因为我们知道, 二叉堆以每次操作花费常数平均时间支持插入。
- 1.1.2)solution: 二项队列支持所有这三种操作(merge + insert + deleteMin), 每次操作的最坏情形运行时间为O(logN), 而插入操作平均花费常数时间; (干货——优先队列的三种基本操作——merge + insert + deleteMin)
1.2)相关定义
- 1.2.1) 二项队列定义: 二项队列不同于我们看到的所有优先队列的实现之处在于, 一个二项队列不是一颗堆序的树, 而是堆序树的集合,称为森林;(干货——二项队列的定义和构成,二项队列是二项树的集合,而二项树是一颗堆序树)
- 1.2.2)二项树定义: 堆序树中的每一颗都是有约束的形式。 (干货——二项树的定义)
- 1.2.3)二项树的构成:每一个高度上至多存在一颗二项树, 高度为0的二项树是一颗单节点树; 高度为k 的二项树Bk 通过将一颗二项树 Bk-1 附接到另一颗二项树Bk-1 的根上而构成;(干货——二项树的构成)
对上图的分析(Analysis):
A1)二项树的性质:
- A1.1)从图中看到, 二项树Bk 由一个带有儿子B0, B1, …, Bk-1的根组成;
- A1.2)高度为k 的二项树恰好有2^k 个节点;
- A1.3) 而在深度d 的节点数是 二项系数 。
A2)如果我们把堆序添加到二项树上, 并允许任意高度上最多有一颗二项树,那么我们能够用二项树的集合唯一地表示任意大小的优先队列;
【2】二项队列操作(merge + insert + deleteMin)
2.1)合并操作(merge) (干货——合并操作的第一步就是查看是否有高度相同的二项树,如果有的话将它们merge)
- step1) H1 没有高度为0的二项树而H2有,所以将H2中高度为0的二项树直接作为H3的一部分;(直接的意思==中间不需要merge);
- step2) H1 和 H2 中都有高度为1的二项树,将它们进行merge, 得到高度为2的二项树(根为12);
- step3)现在存在三颗高度为2的二项树(根分别为12, 14, 23),将其中两个进行merge(如merge根为12 和 根为14 的二项树),得到高度为3的二项树;
- step4)所以,最后,我们得到二项队列, 其集合包括:高度为0的二项树(根为13), 高度为1的二项树(根为23),高度为3的二项树(高度为12);
Attention)
- A1)显然,merge操作是按照高度升序依次进行的;
- A2)最后得到的二项队列不存在高度相同的二项树,即使存在,也要将高度相同的二项树进行merge;
- A3)二项队里中的二项树的高度不必囊括所有的升序实数,即不必一定是0, 1, 2, 3,4 等等; 也可以是0, 1, 3 等;
- A4)单节点树的高度为0; (干货——树高度从零起跳)
2.2)插入操作(insert) (干货——insert操作是merge操作的特例,而merge操作的第一步就是查看是否有高度相同的二项树,如果有的话将它们merge)
- 2.2.1)插入操作实际上: 就是特殊情形的合并, 我们只需要创建一颗单节点树并执行一次merge;
- 2.2.2)更准确地说: 如果元素将要插入的那个优先队列中不存在的最小的二项树是Bi, 那么运行时间与 i + 1 成正比;
对上图的分析(Analysis):
- A1) 4 插入之后,与B0(根为3)进行merge, 得到一颗高度为1的树B1’(根为3);
- A2)将B1’ 与 B1(根为1) 进行merge 得到高度为2 的树B2’(根为1), 它是新的优先队列;
- A3)在插入7之后的下一次插入又是一个坏情形, 因为需要三次merge操作;
2.3)删除最小值操作(deleteMin)
- step1)找出一颗具有最小根的二项树来完成, 令该树为Bk, 令原始序列为H;
- step2)从H中除去Bk, 形成新的二项队列H’;
- step3)再除去Bk的根, 得到一些二项树B0, B1, …, Bk-1, 它们共同形成优先队列H”;
- step4) 合并H’ 和 H” , 操作结束;
【3】 source code and printing results
3.1)source code at a glance
Attention)二项队列的实现源代码用到了 儿子兄弟表示法;
#include "binominal_queue.h" #define MINIMAL 10000int minimal(BinominalQueue bq)
{int capacity;int i;int minimal;int miniIndex; minimal = MINIMAL;capacity = bq->capacity;for(i=0; i<capacity; i++){if(bq->trees[i] && bq->trees[i]->value < minimal){minimal = bq->trees[i]->value;miniIndex = i;}}return miniIndex;
}// initialize the BinominalQueue with given capacity.
BinominalQueue init(int capacity)
{BinominalQueue queue; BinominalTree* trees; int i;queue = (BinominalQueue)malloc(sizeof(struct BinominalQueue));if(!queue){Error("failed init, for out of space !");return queue;} queue->capacity = capacity;trees = (BinominalTree*)malloc(capacity * sizeof(BinominalTree));if(!trees){Error("failed init, for out of space !");return NULL;} queue->trees = trees;for(i=0; i<capacity; i++){queue->trees[i] = NULL;}return queue;
} // attention: the root must be the left child of the binominal tree.
int getHeight(BinominalTree root)
{int height; if(root == NULL){ return 0; }height = 1; while(root->nextSibling){height++;root = root->nextSibling;}return height;
}// merge BinominalQueue bq2 into bq1.
void outerMerge(BinominalQueue bq1, BinominalQueue bq2)
{int height;int i;for(i=0; i<bq2->capacity; i++){height = -1;if(bq2->trees[i]){height = getHeight(bq2->trees[i]->leftChild); // attention for the line above// height = height(bq2->trees[i]->leftChild); not height = height(bq2->trees[i]);merge(bq2->trees[i], height, bq1);} }
}// merge tree h1 and h2 = bq->trees[height],
// who represents the new tree and old one respectively.
BinominalTree merge(BinominalTree h1, int height, BinominalQueue bq)
{ if(h1 == NULL){return h1;}if(bq->trees[height] == NULL) // if the queue don't has the B0 tree.{ bq->trees[height] = h1;return bq->trees[height];}else // otherwise, compare the new tree's height with that of old one.{ if(h1->value > bq->trees[height]->value) // the new should be treated as the parent of the old.{ innerMerge(bq->trees[height], height, h1, bq);}else // the old should be treated as the parent of the new.{innerMerge(h1, height, bq->trees[height], bq);}} return h1;
} BinominalTree lastChild(BinominalTree root)
{ while(root->nextSibling){ root = root->nextSibling;}return root;
}// merge tree h1 and h2 = bq->trees[height],
// who represents the new tree and old one respectively.
BinominalTree innerMerge(BinominalTree h1, int height, BinominalTree h2, BinominalQueue bq)
{if(h1->leftChild == NULL){h1->leftChild = h2;}else{lastChild(h1->leftChild)->nextSibling = h2;// attention for the line above// lastChild(h1->leftChild)->nextSibling = h2 not lastChild(h1)->nextSibling = h2}height++;bq->trees[height-1] = NULL;merge(h1, height, bq); return h1;
} // insert an element with value into the priority queue.
void insert(ElementType value, BinominalQueue bq)
{TreeNode node;node = (TreeNode)malloc(sizeof(struct TreeNode));if(!node){Error("failed inserting, for out of space !");return ;}node->leftChild= NULL;node->nextSibling = NULL; node->value = value; merge(node, 0, bq);
}// analog print node values in the binominal tree, which involves preorder traversal.
void printPreorderChildSibling(int depth, BinominalTree root)
{ int i;if(root) { for(i = 0; i < depth; i++)printf(" ");printf("%d\n", root->value); printPreorderChildSibling(depth + 1, root->leftChild); printPreorderChildSibling(depth, root->nextSibling);} else{for(i = 0; i < depth; i++)printf(" ");printf("NULL\n");}
}// print Binominal Queue bq
void printBinominalQueue(BinominalQueue bq)
{int i;for(i=0; i<bq->capacity; i++){printf("bq[%d] = \n", i);printPreorderChildSibling(1, bq->trees[i]);}
}void deleteMin(BinominalQueue bq)
{int i; BinominalTree minitree; BinominalTree sibling;i = minimal(bq);minitree = bq->trees[i]->leftChild; //minitree->value=51free(bq->trees[i]);bq->trees[i] = NULL; while(minitree){sibling = minitree->nextSibling;minitree->nextSibling = NULL;merge(minitree, getHeight(minitree->leftChild), bq); minitree = sibling;}
}
3.2) printing results
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