从RGB到Lab色彩空间的转换

最近一直在学习绘制RGB,HSV,Lab色彩空间的直方图，其中也涉及到互相转换的知识，这是网上看到的介绍的。

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虽然若干年前就看过了关于色彩空间的介绍，但是直到今天才自己动手写代码做这件事情。虽然网络上已经有很多现成的例子，但是一则仅仅适用于浮点型的数据，另一方面，在实现上也有一些尚可优化之处。

色彩模型除了最常见的RGB以外，还有HSB、YCbCr、XYZ、Lab等。HSB一般仅仅作为图像处理过程中的临时模式，YCbCr常常用于图像的压缩处理，而XYZ则严格按照人眼对光信号的敏感度进行分布。

这里将要稍作讨论的便是Lab模型。网络上诸多的介绍都说Lab是基于XYZ的，故人们一般也只能找到XYZ和Lab之间的转换，而RGB到Lab的转换只能使用XYZ作为中间模式间接进行。可惜的是，这种现状源于误解。而在图像处理软件中（比如Photoshop），往往采用一个更为简单的算法。

我们可以先观察RGB到XYZ的转换：

[X,Y,Z] = [M] * [R,G,B]

其中M为一3x3矩阵：
[M] = [0.4125, 0.3576, 0.1805;
0.2126, 0.7152, 0.0722;
0.0193, 0.1192, 0.9505]，

RGB是经过Gamma校正的色彩分量：R=g(r)，G=g(g)，B=g(b)。
其中rgb为原始的色彩分量。

g是Gamma校正函数：
当 x < 0.018 时，g(x) = 4.5318 * x
当 x >= 0.018 时，g(x) = 1.099 * d^0.45 - 0.099

rgb以及RGB的取值范围则均为[0,1)。计算完成后，XYZ的取值范围则有所变化，分别是：[0, 0.9506)，[0, 1)，[0, 1.0890)。

以及XYZ到Lab的转换：

L = 116 * f(Y1) - 16
a = 500 * (f(X1) - f(Y1))
b = 200 * (f(Y1) - f(Z1))

其中f是一个类似Gamma函数的校正函数：
当 x > 0.008856 时，f(x) = x^(1/3)
当 x <= 0.008856 时，f(x) = ( 7.787 * x ) + ( 16 / 116 )
X1、Y1、Z1分别是线性归一化之后的XYZ值，也就是说，它们的取值范围都是[0, 1)。此外，函数f的值域也和自变量一样都是[0, 1)。

计算完成后，L的取值范围[0, 100)，而a和b则约为[-169, +169)和[-160, +160)。

在观察这些貌似复杂的变换之前，我们必须确定的一个假设是：在图像处理软件中，非RGB色彩数据的绝对值并不重要，重要的是他们能够尽可能准确的还原成RGB图像以显示在屏幕等相关设备上。这个假设是我们的简化得以成立的理由。

上面的从XYZ到Lab的转换乍一看起来很奇怪，但若是仔细观察，不难发现L与Y1只是一个简单的同区间映射关系，这个映射其实可有可无（如果进行了映射反而必定导致色阶丢失）。

这样，我们取得的第一个简化是： L = Y1 。

接下来接着看a和b的映射过程。大家不难发现，a和b其实是一个色差信号（跟Cb和Cr的性质差不多）。至于它们的转换系数500和200，大家可以完全忘记，因为他们的值域并不符合8位整数值的表达需要。我们将会稍后计算出合适的因数，使得a和b都处在[0, 255]的范围内。

因为XYZ必须归一化转为X1Y1Z1，那么我们其实可以在转换矩阵M中作出这个修改，令每行乘以一个系数以使得每行各数之和为1：
[M1] = [0.4339, 0.3762 0.1899;
0.2126, 0.7152, 0.0722;
0.0177, 0.1095, 0.8728]

于是乎，我们得出一个半成品：
L = Y1 = 0.2126 * R + 0.7152 * G + 0.0722 * B
a = Fa * (X1 - Y1) + Da
b = Fb * (Y1 - Z1) + Db
其中的Fx是调整值域用的系数，Dx是一个正数，用来消除a和b的负值。Fx和Dx的选取必须令a和b满足值域在[0, 255]上的分布。

接下来我们来确定Fx和Dx的值。通过M1我们很容易计算出X1-Y1的值域（极端情况）为[-86.784, +86.784)，而Y1-Z1的值域则为[-204.9536, +204.9536)。于是乎，Fa的值为1.4749，Fb的值为0.6245；Da和Db则都是128。

这时，代入M1有：
L = Y1 = 0.2126 * R + 0.7152 * G + 0.0722 * B
a = 1.4749 * (0.2213 * R - 0.3390 * G + 0.1177 * B) + 128
b = 0.6245 * (0.1949 * R + 0.6057 * G - 0.8006 * B) + 128
其中RGB和Lab的取值范围都是[0,255]。

最后的一点工作是算法的优化。我们可以将这个方程组转换成常整数乘法与移位的方式（相当于使用定点数）。为了方便阅读，我仍然将移位写为除法。

所以我们的最终结果为：

L = Y1 = (13933 * R + 46871 * G + 4732 * B) div 2^16
a = 377 * (14503 * R - 22218 * G + 7714 * B) div 2^24 + 128
b = 160 * (12773 * R + 39695 * G - 52468 * B) div 2^24 + 128

至于逆变换则可以用类似的方法推导出来：

设L1=L，a1=(a-128)*174，b1=(b-128)*410，有：
R = L1 + (a1 * 100922 + b1 * 17790) div 2^23
G = L1 - (a1 * 30176 + b1 * 1481) div 2^23
B = L1 + (a1 * 1740 - b1 * 37719) div 2^23
其中RGB和Lab的取值范围都是[0,255]，再经过逆Gamma函数取得原始的rgb

以上的算法在Delphi中编译通过。经测试，运算得出的直方图与图片观感和我手头的Photoshop CS的结果非常相似，但也有一些幅度上的差别，且容以后慢慢细察。

当初为了寻觅一个简单的RGB直接转Lab算法而找遍网络皆不得，万不得已只好自力更生。其间虽费时一日，幸好也算略有所得。暂记于此，以利后人。其间或许难免错漏之处，还望达人不吝指点。

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