深刻理解RGB色彩空间与HSI色彩空间的转换关系

一、概要
本文先给出色调、饱和度和亮度的定义，然后将其量化，利用空间解析几何推导出RGB色彩空间与HSI色彩空间的转换关系，并给出实现这一转换的代码，同时给出OpenCV的标准转换算法。
二、色调、饱和度及亮度的定义

三、RGB色彩空间与HSI色彩空间转换关系的推导

四、算法实现及分析
基于以上推导，利用C++实现RGB色彩空间到HSI色彩空间的转换。输入图像如下所示：

1、强度
利用本文推导的强度计算公式从RGB空间中提取图像的强度，代码如下所示：

#include<iostream>
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<math.h>
using namespace std;
using namespace cv;
int main()
{Mat src = imread("RGB.jpg");imshow("输入图像", src);Mat I = Mat::zeros(src.size(), CV_32FC1);for (int row = 0; row < src.rows; row++){for (int col = 0; col < src.cols; col++){I.at<float>(row, col) = (float)(src.at<Vec3b>(row, col)[0] + src.at<Vec3b>(row, col)[1] + src.at<Vec3b>(row, col)[2]) / 3;}}I.convertTo(I, CV_8UC1);imshow("强度（推导）", I);waitKey(0);system("pause");return 0;
}

将上述代码的运行结果与利用OpenCV的API的运行结果进行对比，对比结果如下所示：

由于输出的是单通道图像，所以显示的效果为灰度图，但依然可以从对比结果中验证推导结果。上图中，左侧是利用OpenCV的API的运行结果，右侧是根据本文推导的强度算法的运行结果。显然，两种方法的运行结果基本一致。
2、饱和度
利用本文推导的饱和度计算公式从RGB空间中提取图像的饱和度，代码如下所示：

#include<iostream>
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<math.h>
using namespace std;
using namespace cv;
int main()
{Mat src = imread("RGB.jpg");imshow("输入图像", src);Mat S = Mat::zeros(src.size(), CV_32FC1);for (int row = 0; row < src.rows; row++){for (int col = 0; col < src.cols; col++){int B_2 = pow(src.at<Vec3b>(row, col)[0], 2);//B^2int G_2 = pow(src.at<Vec3b>(row, col)[1], 2);//G^2int R_2 = pow(src.at<Vec3b>(row, col)[2], 2);//R^2int BG = src.at<Vec3b>(row, col)[0] * src.at<Vec3b>(row, col)[1];int GR = src.at<Vec3b>(row, col)[1] * src.at<Vec3b>(row, col)[2];int BR = src.at<Vec3b>(row, col)[0] * src.at<Vec3b>(row, col)[2];S.at<float>(row,col)= (float)sqrt(B_2 + G_2 + R_2 - BG - GR - BR);}}S.convertTo(S, CV_8UC1);imshow("饱和度（推导）", S);waitKey(0);system("pause");return 0;
}

将上述代码的运行结果与利用OpenCV的API的运行结果进行对比，对比结果如下所示：

上图中，左侧是利用OpenCV的API的运行结果，右侧是根据本文推导的强度算法的运行结果。从运行结果上来看，这似乎是说本文推导关于计算饱和度的公式有误。事实上，在任何文献中关于从RGB色彩空间而导出的饱和度定义是有缺陷的。再来回顾饱和度的数学定义：饱和度为RGB空间中任意一点与强度轴的距离。基于这个概念能够得到几乎所有色彩的饱和度，但是唯独无法得到关于灰色，黑色与白色的饱和度，亦即没有纯黑色，纯白色的定义，因为图像中灰黑白这类颜色的像素点反映至RGB空间上得到的是位于强度轴上的点（R=G=B），而这种位于强度轴上的点与强度轴上的距离永远都为零，因此正是基于这种饱和度的定义，从而计算出来图像中灰黑白三种颜色的像素点的饱和度永远为零。而本文推导出来的饱和度计算公式正是在归一化RGB色彩空间中，基于饱和度的定义严格推导出来的结果。因此，对比上图右侧的运行结果与输入图像容易发现：运行结果中的高亮度区正是输入图像中颜色较纯的区域（饱和度高），而灰黑白三种颜色的输出直接为黑色（饱和度=0）。
而OpenCV官方给出的则是另一种饱和度算法，如下所示：

另外，在冈萨雷斯所著的数字信号处理一书中关于饱和度的算法为：

最后再补充一点，这三种饱和度算法本质上都是基于饱和度的定义，算法之所以不同是因为它们是在不同的色彩空间模型下推导出来的结果。
利用OpenCV给出的饱和度算法，提取图像的饱和度，代码运行结果如下所示：

代码如下所示：

#include<iostream>
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<math.h>
using namespace std;
using namespace cv;
int Max(int B, int G, int R);
int Min(int B, int G, int R);
int main()
{Mat src = imread("RGB.jpg");imshow("输入图像", src);Mat S = Mat::zeros(src.size(), CV_32FC1);for (int row = 0; row < src.rows; row++){for (int col = 0; col < src.cols; col++){int B = src.at<Vec3b>(row, col)[0];int G = src.at<Vec3b>(row, col)[1];int R = src.at<Vec3b>(row, col)[2];int max = 0, min = 0;max = Max(B, G, R);min = Min(B, G, R);if (max != 0){S.at<float>(row, col) = 255 * (float)(max - min) / max;}elseS.at<float>(row, col) = 0;}}S.convertTo(S, CV_8UC1);imshow("S", S);waitKey(0);system("pause");return 0;
}
int Min(int B, int G, int R)
{int min = 0;if (B <= G){min = B;}else{min = G;}if (min > R){min = R;}return min;
}
int Max(int B, int G, int R)
{int max = 0;if (B >= G){max = B;}else{max = G;}if (max < R){max = R;}return max;
}

3、色调
利用本文推导的色调计算公式从RGB空间中提取图像的色调，代码如下所示：

#include<iostream>
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<math.h>
#define pi 3.1415926
using namespace std;
using namespace cv;
int main()
{Mat src = imread("RGB.jpg");Mat I = Mat::zeros(src.size(), CV_8UC1);Mat S = Mat::zeros(src.size(), CV_8UC1);Mat H = Mat::zeros(src.size(), CV_32FC1);for (int row = 0; row < src.rows; row++){for (int col = 0; col < src.cols; col++){int B = src.at<Vec3b>(row, col)[0];int G = src.at<Vec3b>(row, col)[1];int R = src.at<Vec3b>(row, col)[2];int B_2 = pow(B, 2);//B^2int G_2 = pow(G, 2);//G^2int R_2 = pow(R, 2);//R^2int BG = B*G;int GR = G*R;int BR = B*R;int temp = B_2 + G_2 + R_2 - BG - GR - BR;float alpha = (float)(R - 0.5*G - 0.5*B) / sqrt(temp);(alpha > 1) ? 1 : (alpha < -1) ? -1 : alpha;//将alpha的取值范围限定在[-1,1]上float theta = (float)180 * acos(alpha) / pi;//弧度转换为角度if (B > G){H.at<float>(row, col) = 360 - theta;}elseH.at<float>(row, col) = theta;}}H.convertTo(H, CV_8UC1);imshow("色调（推导）", H);waitKey(0);system("pause");return 0;
}

将上述代码的运行结果与利用OpenCV的API的运行结果进行对比，对比结果如下所示：

上图中，左侧是利用OpenCV的API的运行结果，右侧是根据本文推导的色调公式的运行结果。显然，该运行结果与左侧图像相比除了显得稍亮一点外，结果完全一致。下面解释右侧运行结果显得较亮的原因。
回顾本文推导的色调计算公式：

在该公式中，反余弦内部分式的分母在R≈G≈B的情况下趋于0，这就会导致分式的运算结果的绝对值远大于1，为了限制无穷大，给定分式运算结果超出±1的值为+1或者-1，那么反余弦的结果为0°或180°。故而图像存在较亮的区域。
最后给出OpenCV官方的色调算法，算法如下图所示：

图中的H为色调算法，代码如下所示：

#include<iostream>
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<math.h>
using namespace std;
using namespace cv;
int Min(int B, int G, int R);
int Max(int B, int G, int R);
int main()
{Mat src = imread("RGB.jpg");imshow("输入图像", src);Mat H = Mat::zeros(src.size(), CV_32FC1);for (int row = 0; row < src.rows; row++){for (int col = 0; col < src.cols; col++){int B = src.at<Vec3b>(row, col)[0];int G = src.at<Vec3b>(row, col)[1];int R = src.at<Vec3b>(row, col)[2];int max = 0, min = 0;max = Max(B, G, R);min = Min(B, G, R);/*************************************************************************************************/if (R == max){H.at<float>(row, col) = (float)60*(G - B) / (max - min);}if (G == max){H.at<float>(row, col) = (float)120 + (float)60 * (B - R) / (max - min);}if (B == max){H.at<float>(row, col) = (float)240 + (float)60 * (R - G) / (max - min);}if (H.at<float>(row, col) < 0){H.at<float>(row, col) = (H.at<float>(row, col) + 360);}}}H.convertTo(H, CV_8UC1);imshow("色调（官方）", H);waitKey(0);system("pause");return 0;
}
int Min(int B, int G, int R)
{int min = 0;if (B <= G){min = B;}else{min = G;}if (min > R){min = R;}return min;
}
int Max(int B, int G, int R)
{int max = 0;if (B >= G){max = B;}else{max = G;}if (max < R){max = R;}return max;
}

运行结果如下所示：

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