正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4196

题目大意

给出nnn个凸多边形，求它们交的面积。

解题思路

就是把凸多边形上每条边作为一个半平面限制然后求一遍半平面交就好了。

具体做法是我们先将点按照级角排序，然后以此把半平面加入双端队列。

加入之前我们需要进行以下操作

如果双端队列头部两个半平面的交点不在新的半平面内，那么删去尾部的半平面
如果双端队列底部两个半平面的交点不在新的半平面内，那么删去尾部的半平面

加入完所有的半平面后我们需要连接队头和队尾，此时有可能产生新的多余平面，我们拿头部去除尾部多余，拿尾部去除头部多余即可，步骤与上面相似。

然后得出的相邻半平面两两之间的交点构成一个凸多边形，叉积求面积即可。

时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)(n为平面数量)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=510;
const double eps=1e-8;
int n,m,cnt;double ans;
struct point{double x,y;point(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;return;}
}p[N];
struct line{point x,y;double dir;line(point xx=0,point yy=0){x=xx;y=yy;return;}
}a[N],q[N];
int sign(double x)
{return (x>eps)-(x<-eps);}
point operator+(point x,point y)
{return point(x.x+y.x,x.y+y.y);}
point operator-(point x,point y)
{return point(x.x-y.x,x.y-y.y);}
point operator>>(point x,double k)
{return point(x.x*k,x.y*k);}
double operator^(point x,point y)
{return x.x*y.y-x.y*y.x;}
point inter(line x,line y){point s1=x.x,s2=y.x,t1=x.y-s1,t2=y.y-s2;return s2+(t2>>(((s2-s1)^t1)/(t1^t2)));
}
bool cmp(line x,line y)
{return sign(x.dir-y.dir)?(sign(x.dir-y.dir)<0):(sign((x.y-x.x)^(y.y-x.x))<0);}
bool check(line x,line y,line z){point w=inter(x,y);return sign((z.y-z.x)^(w-z.x))<0;
}
void solve(){sort(a+1,a+1+cnt,cmp);n=0;for(int i=1;i<=cnt;i++)if(sign(a[i].dir-a[i-1].dir)!=0)a[++n]=a[i];// for(int i=1;i<=n;i++)//     printf("%lf %lf %lf %lf %d\n",a[i].x.x,a[i].x.y,a[i].y.x,a[i].y.y,i);int tail=0,head=1;q[1]=a[1];q[tail=2]=a[2];for(int i=3;i<=n;i++){while(head<tail&&check(q[tail-1],q[tail],a[i]))tail--;while(head<tail&&check(q[head],q[head+1],a[i]))head++;q[++tail]=a[i];}while(head<tail&&check(q[tail-1],q[tail],q[head]))tail--;while(head<tail&&check(q[head],q[head+1],q[tail]))head++;n=0;q[++tail]=q[head];for(int i=head+1;i<=tail;i++)p[++n]=inter(q[i-1],q[i]);return;
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&m);point x,last,star;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%lf%lf",&x.x,&x.y);if(i==1)star=x;else a[++cnt]=line(last,x);last=x;}a[++cnt]=line(x,star);}for(int i=1;i<=cnt;i++)a[i].dir=atan2(a[i].y.y-a[i].x.y,a[i].y.x-a[i].x.x);solve();p[++n]=p[1];for(int i=2;i<=n;i++)ans+=(p[i]^p[i-1]);printf("%.3lf\n",fabs(ans)/2.0);
}

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P4196-[CQOI2006]凸多边形/[模板]半平面交【计算几何】

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