【数论】【杜教筛】选数（P3172）

正题

P3172

题目大意

在 [L,R] 选n个数，问gcd=k的方案数

解题思路

因为gcd=k，那么所选的数都是k的倍数，那么可以让L,R整除k，那么有

∑a1=LR∑a2=LR...∑an=LR[gcd(a1,a2...an)=1]\sum_{a_1=L}^R\sum_{a_2=L}^R...\sum_{a_n=L}^R[gcd(a_1,a_2...a_n)=1]a1=L∑Ra2=L∑R...an=L∑R[gcd(a1,a2...an)=1]

∑a1=lr∑a2=lr...∑an=lr∑d∣a1,d∣a2...d∣anμ(d)\sum_{a_1=l}^r\sum_{a_2=l}^r...\sum_{a_n=l}^r\sum_{d|a_1,d|a_2...d|a_n}\mu(d)a1=l∑ra2=l∑r...an=l∑rd∣a1,d∣a2...d∣an∑μ(d)

∑d=1nμ(d)(rd−l−1d)n\sum_{d=1}^n\mu(d)(\frac{r}{d}- \frac{l-1}{d})^nd=1∑nμ(d)(dr−dl−1)n

然后可以整除分块，μ\muμ 用杜教筛求

code

#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 2000210
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll n,k,L,R,w,ans,mu[N],p[N],prime[N];
map<ll,ll>smu;
const ll MX=2e6;
void work()
{mu[1]=1;for(ll i=2;i<=MX;++i){if(!p[i]){mu[i]=-1;prime[++w]=i;}for(ll j=1;j<=w&&i*prime[j]<=MX;++j){p[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0)break;mu[i*prime[j]]=-mu[i];}}for(ll i=2;i<=MX;++i)mu[i]+=mu[i-1];return;
}
ll S(ll n)
{if(n<=MX)return mu[n];if(smu.find(n)!=smu.end())return smu[n];ll g=1;for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);g-=S(n/l)*(r-l+1);}smu[n]=g;return g;
}
ll ksm(ll x,ll y)
{ll z=1;while(y){if(y&1)z=z*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;}return z;
}
int main()
{work();scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&L,&R);L=(L+k-1)/k-1;R/=k;for(ll l=1,r;l<=R;l=r+1){if(L/l)r=min(L/(L/l),R/(R/l));else r=R/(R/l);(ans+=(S(r)-S(l-1))*ksm(R/l-L/l,n)%mod+mod)%=mod;}printf("%lld",ans);return 0;
}

【数论】【杜教筛】选数（P3172）相关推荐

51nod 1847 奇怪的数学题（数论/min25筛/杜教筛/斯特林数）
51nod 1847 奇怪的数学题求解∑i=1n∑j=1nsgcd(i,j),sgcd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j),sgcd∑i=1n∑j=1nsgcd(i ...
[CQOI2015]选数（数论分块+杜教筛）
problem 洛谷链接 solution 将 L,HL,HL,H 的范围放缩 1K\frac 1 KK1,都除掉 KKK,特殊的 LLL 边界注意一下. H←H/K,L←(L−1)/K+1H\le ...
[CQOI2015]选数（杜教筛）
[CQOI2015]选数推式子根据题意可写出式子: ∑a1=LH∑a2=LH⋯∑an=LH[gcd(a1,a2-an)=k]∑a1=⌈Lk⌉⌊Hk⌋∑a2=⌈Lk⌉⌊Hk⌋⋯∑an=⌈Lk⌉⌊Hk ...
A. [2021.1.29多校省选模拟11]最大公约数（杜教筛/数论）
A. [2021.1.29多校省选模拟11]最大公约数这是一个杜教筛的经典题目,最后我们只需要筛一下1∗xμ(x)1*x\mu(x)1∗xμ(x)这个函数的前缀和即可,然后看到有111这个函数,我们 ...
matlab狄利克雷函数,数论入门1——莫比乌斯函数,欧拉函数,狄利克雷卷积,线性筛,莫比乌斯反演,杜教筛...
数论入门1 一个菜鸡对数论的一点点理解... 莫比乌斯函数定义函数$\mu(n)$为: 当n有平方因子时,$\mu(n)=0$. 当n没有平方因子时,$\mu(n)=(-1)^{\omega(n)} ...
CCPC-Wannafly Winter Camp Day3 (Div2, onsite) F 小清新数论欧拉函数的利用莫比乌斯反演杜教筛
F - 小清新数论做法一:欧拉函数 #include<stdio.h> #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #defin ...
【bzoj4176】Lucas的数论莫比乌斯反演+杜教筛
题目描述去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N" ...
P4450-双亲数,P5221-Product,P6055-[RC-02]GCD【莫比乌斯反演,杜教筛】
除了最后一题都比较简单就写一起了 P4450-双亲数题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4450 题目大意给出A,B,dA,B,dA,B,d求有多少对(a ...
[51NOD1847]奇怪的数学题（杜教筛+min_25筛+第二类斯特林数）
f(x)f(x)f(x)表示xxx的次大约数,有f(x)=xx的最小质因数f(x)=\frac{x}{x的最小质因数}f(x)=x的最小质因数x,那么 ∑i=1n∑j=1nsgcd(i,j)k=∑i ...

【数论】【杜教筛】选数（P3172）

正题

题目大意

解题思路

code

【数论】【杜教筛】选数（P3172）相关推荐

最新文章

热门文章