一种新的优化方法：海豚回声定位

海豚回声定位算法（Dolphin echolocation,DE）由伊朗人A. Kaveh和N. Farhoudi于2013年提出，是一种新型的元启发式优化算法，其模拟了海豚在捕食过程中利用回声定位的策略。

回声定位

海豚可以发出滴答滴答的声音，这些滴答声的频率远远高于交流信号的频率。当声音撞击到物体，声波的部分能量会反射回海豚身上，海豚接收到回声后会发出另一种滴答声，海豚会根据滴答声与回声之间的时间间隔评估出与物体的距离，还会根据头部两侧接收到的不同强度的信号进行方向判断，通过不断地发出滴答声和接受回声，海豚可以跟踪并锁定目标。当海豚接近感兴趣的目标时，还会提高滴答的速率。

尽管蝙蝠也是利用回声定位，但是它们却与海豚的声纳系统不同。蝙蝠声纳系统的范围较小，一般3到4米左右，而海豚能探测到的目标范围从几十米到一百多米不等。声波在空气中的传播速度大约是水传播速度的五分之一，因此蝙蝠在声纳传播过程中的信息传递速度要比海豚短得多。这些在环境和猎物方面的不同就需要不同类型的声纳系统，从而很难直接比较出孰好孰坏。

对于优化问题，海豚利用回声定位的原理捕食猎物的过程类似于寻找问题的最优解。初始时，海豚对整个空间进行搜索以寻找猎物，随着越来越接近目标，海豚就会缩小搜索范围，并增加滴答声以专注于某一位置。

该算法通过限制与目标距离成比例的探索来模拟回声定位，分为两个阶段：第一阶段，算法探索整个空间以进行去全局搜索，因而可以搜寻未曾探索过的区域，主要是通过随机探索位置来实现；第二阶段，算法将围绕前一阶段中获得的较优结果附近进行开发利用。

使用海豚回声定位算法时，用户可以根据预定义的曲线改变阶段1与阶段2产生解的比率。在用户定义的这条曲线上应该保证优化收敛，算法然后设置参数以便遵循这条曲线。与其他方法相比，该方法与最优解出现的可能性相关，换句话说，对于每个变量，在可行域内都有不同的可选值，在每个循环中，算法根据用户确定的收敛曲线，定义了选择到目前为止实现的最优值的可能性，利用这条曲线，使算法的收敛性得到控制，从而降低对参数的依赖性。

回声定位算法

在开始优化之前，需要对搜索空间按以下规则进行排序：

搜索空间排序：对于每个变量，对搜索空间的可选值按升序或降序排序，如果可选值包含多个特征，则按最重要的进行排序。对于变量jjj，所有的可选值构成了长度为LAjLA_jLAj的向量AjA_jAj，将这些向量作为列就得到了矩阵AlternativesMA×NVAlternatives_{MA\times NV}AlternativesMA×NV，其中MVMVMV为max(LAj)j=1:NVmax(LA_{j})_{j=1:NV}max(LAj)j=1:NV，NVNVNV为变量个数。

优化过程中收敛因子应根据曲线进行改变，曲线定义如下：

PP(Loopi)=PP1+(1−PP1)LoopiPower −1(LoopsNumber)Power−1(1)P P\left(L o o p_{i}\right)=P P_{1}+\left(1-P P_{1}\right) \frac{L o o p_{i}^{\text {Power }}-1}{(\text {LoopsNumber})^{\text {Power}}-1}\tag{1}PP(Loopi)=PP1+(1−PP1)(LoopsNumber)Power−1LoopiPower −1(1)

其中PPPPPP为预定义的概率，PP1PP_1PP1为第一次循环时的收敛因子，在第一次循环中随机选择解。LoopiLoop_iLoopi为当前循环数，PowerPowerPower为曲线度。

循环数：算法达到收敛点的循环数，这个参数应该根据计算量由用户选择。

算法的流程图如下图所示，以下面的优化问题为例，说明海豚回声定位的主要步骤。

min⁡(h=∑i=1Nxi2),xi∈Z,−20⩽xi⩽20(2)\min \left(h=\sum_{i=1}^{N} x_{i}^{2}\right), \quad x_{i} \in Z,-20 \leqslant x_{i} \leqslant 20\tag{2}min(h=i=1∑Nxi2),xi∈Z,−20⩽xi⩽20(2)
其中N=4N=4N=4。

在算法优化之前，首先根据等式(1)选择曲线，其中Power=1Power=1Power=1，循环数Loops number=8，以及PP10.1PP_10.1PP10.1，则由

PP=0.1+0.9(Loopi−17)=0.1+0.9(Loopi−1)(3)P P=0.1+0.9\left(\frac{\text {Loop}_{i}-1}{7}\right)=0.1+0.9\left(\text {Loop}_{i}-1\right)\tag{3}PP=0.1+0.9(7Loopi−1)=0.1+0.9(Loopi−1)(3)

随机初始化NLNLNL个海豚位置。

这一步主要包括创建LNV×NVL_{NV\times NV}LNV×NV，其中NLNLNL为位置个数，NVNVNV为变量个数（每个位置的维度）。对于该实例，考虑NL=30NL=30NL=30，NV=4NV=4NV=4，每个维度取值均在[-20,20]之间，第iii位置的解可能为Li=10,4,−7,18L_i={10,4,-7,18}Li=10,4,−7,18。

根据等式（1）（对于该例子就是等式（3））计算循环的PPPPPP。
计算每个位置的适应度值。

在该例中，式（2）定义了目标函数，如对于位置LiL_iLi，h=(−10)2+42+(−7)2+182=489h=(-10)^2+4^2+(-7)^2+18^2=489h=(−10)2+42+(−7)2+182=489。在海豚回声定位算法中，适应度值用于计算概率，较优的适应度值应该具有更高的概率，因此对于对于最小化问题则适应度应该为目标值的相反数，即Fitness=1/hFitness=1/hFitness=1/h。为了避免除以0，通常使用Fitness=1/(h+1)Fitness=1/(h+1)Fitness=1/(h+1)，在该例中，Fitness(Li)=1/(489+1)=0.00204Fitness(L_i)=1/(489+1)=0.00204Fitness(Li)=1/(489+1)=0.00204。

根据如下的海豚规则计算累积适应度值：

(a)

for iii=1 to 可选值个数

for jjj=1 to 变量个数

找到Alternatives中第jjj列的位置L(i,j)L(i,j)L(i,j)，命名为AAA

for kkk=−Re-R_e−Re to ReR_eRe

AF(A+k)j=1Re∗(Re−∣k∣)Fitness (i)+AF(A+k)j(4)A F_{(A+k) j}=\frac{1}{R_{e}} *\left(R_{e}-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(A+k) j}(4)AF(A+k)j=Re1∗(Re−∣k∣) Fitness (i)+AF(A+k)j(4)

end

其中AF(A+k)jA F_{(A+k) j}AF(A+k)j是为第jjj个变量选择的第(A+k)(A+k)(A+k)个可选值的累积适应度值（可选值的编号等于Alternatives矩阵的排序），ReR_eRe为有效半径，在该半径内A的邻域的累积适应度都会受到A的适应度值的影响，该半径建议不超过搜索空间的1/4。

对于靠近边缘的可选值（A+kA+kA+k无效，A+k<0A+k<0A+k<0或A+k>LAjA+k>LA_jA+k>LAj），AFAFAF将使用反射特征进行计算，这种情况下，如果可选值与边缘的距离小于ReR_eRe，那么在边缘上放置一面镜子时，在上述可选值的镜像位置上存在相同的可选值。

(b)为了在搜索空间中更均匀地分布分布这种可能性，对所有的序列均加上一个很小的数AF=AF+εA F=A F+\varepsilonAF=AF+ε，其中ε\varepsilonε应该按照适应度值定义的方式选择，最好小于适应度值所能取得的最小值。

©找到当前循环中的最优位置，并记为最优位置“The best location”，找出分配给最优位置中各个变量的可选值，设置它们的AFAFAF为0，即：

for j=1j=1j=1 to 变量个数

for iii=1 to 可选值个数

if iii=The best location(jjj)

AFij=0AF_{ij}=0AFij=0

end

对于上述优化问题，首先根据等式(2)计算累积适应度值，前面提到过，可选值应该按照升序进行排列，则可选矩阵为：
Alternatives =[−20−20−20−20−19−19−19−19⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1919191920202020](5)\text { Alternatives }=\left[\begin{array}{cccc} -20 & -20 & -20 & -20 \\ -19 & -19 & -19 & -19 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 19 & 19 & 19 & 19 \\ 20 & 20 & 20 & 20 \end{array}\right]\tag{5} Alternatives =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−20−19⋅⋅⋅1920−20−19⋅⋅⋅1920−20−19⋅⋅⋅1920−20−19⋅⋅⋅1920⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤(5)

对于采样位置LiL_iLi,考虑Re=10R_e=10Re=10，则等式(4)变为：

for i=Lii=L_ii=Li

for jjj=1 to 4

找到Alternatives中第jjj列的位置L(i,j)L(i,j)L(i,j)，命名为AAA

for kkk=−10-10−10 to 101010

AF(A+k)j=110∗(10−∣k∣)Fitness (i)+AF(A+k)j(6)A F_{(A+k) j}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(A+k) j}(6)AF(A+k)j=101∗(10−∣k∣) Fitness (i)+AF(A+k)j(6)

end

其中式(5)也可表示为：

for j=1,2,3,4j={1,2,3,4}j=1,2,3,4

L(i,j)=−10,4,−7,18L(i,j)={-10,4,-7,18}L(i,j)=−10,4,−7,18,那么A=11,25,14,39A={11,25,14,39}A=11,25,14,39，-10在可选值矩阵的第一列中排在第11位，以此类推就可以得到AAA。

for kkk=-10 to 10

AF(11+k)1=110∗(10−∣k∣)Fitness (i)+AF(11+k)1(7)A F_{(11+k) 1}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(11+k) 1}(7)AF(11+k)1=101∗(10−∣k∣) Fitness (i)+AF(11+k)1(7)

AF(25+k)2=110∗(10−∣k∣)Fitness (i)+AF(25+k)2A F_{(25+k) 2}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(25+k) 2}AF(25+k)2=101∗(10−∣k∣) Fitness (i)+AF(25+k)2

AF(14+k)3=110∗(10−∣k∣)Fitness (i)+AF(14+k)3A F_{(14+k) 3}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(14+k) 3}AF(14+k)3=101∗(10−∣k∣) Fitness (i)+AF(14+k)3

AF(39+k)4=110∗(10−∣k∣)Fitness (i)+AF(39+k)4A F_{(39+k) 4}=\frac{1}{10} *\left(10-|k|\right) \text { Fitness }(i)+A F_{(39+k) 4}AF(39+k)4=101∗(10−∣k∣) Fitness (i)+AF(39+k)4

end

ϵ=1/(4∗202)\epsilon=1/(4*20^2)ϵ=1/(4∗202)，那么AF=AF+0.000625AF=AF+0.000625AF=AF+0.000625。

在式(7)的这些等式中，对于第2个变量j=2j=2j=2，在计算累积适应度时，应该将搜索空间分为两个区域：受影响区域(有效半径内)和不受影响区域。设定Re=10R_e=10Re=10，由于第2个变量选择的可选值为4，那么与4的距离大于10(x<6x<6x<6或x>10x>10x>10)的区域不会受到影响。同时在受影响的区域内，由该样本位置产生的累积适应度线性变化，其最大值出现在x=4处，则有：

AF=AF+0.000625AF=AF+0.000625AF=AF+0.000625

对所有随机选择的解进行以上操作，就得到了第一次循环的最终累积适应度。

对于变量j(j=1toNV)j_{(j=1 to NV)}j(j=1toNV)，根据以下关系计算选择可选值i(i=1toALj)i_{(i=1toAL_j)}i(i=1toALj)的概率：
Pij=AFij∑i=1LAjAFij(8)P_{i j}=\frac{A F_{i j}}{\sum_{i=1}^{L A j} A F_{i j}}\tag{8}Pij=∑i=1LAjAFijAFij(8)

根据分配给每个可选值的概率，计算下一步的位置。

在该例中，对于变量j(j=1to4)j_{(j=1 to 4)}j(j=1to4),计算可选值i(i=1to40)i_{(i=1to40)}i(i=1to40)的概率：

Pij=AFij∑k=140AFkj(9)P_{i j}=\frac{A F_{i j}}{\sum_{k=1}^{40} A F_{k j}}\tag{9}Pij=∑k=140AFkjAFij(9)

为最优位置的所有变量选择的所有可选值分配概率PPPPPP,根据下面的公式，把其余的概率分配给其他可选值：

for j=1j=1j=1 to 变量个数

for i=1i=1i=1 to 可选值个数

if i=1i=1i=1 The best location(jjj)

Pij=PPP_{ij}=PPPij=PP (10)

else

Pij=(1−PP)PijP_{ij}=(1-PP)P_{ij}Pij=(1−PP)Pij (11)

end

第一次循环的最优位置为X1=−11,X2=3,X3=X4=4X1=-11,X2=3,X3=X4=4X1=−11,X2=3,X3=X4=4，根据等式(3)，第一次循环的PP=10%PP=10\%PP=10%,即在最优位置上的所有变量的概率为10%10\%10%,而将剩余的90%90\%90%分配给其他可选值。
Pij=(1−0.1)Pij=0.9Pij(12)P_{i j}=(1-0.1) P_{i j}=0.9 P_{i j}\tag{12}Pij=(1−0.1)Pij=0.9Pij(12)

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