HDU6266 - Hakase and Nano 狄利克雷卷积

前置技能

积性函数

f(n) != 0 且对于gcd(m, n) = 1

f(mn) = f(m)f(n)

则称该函数为积性函数

完全积性函数

对于任意的f(mn) = f(m)f(n) , 则 f(n)为完全积性函数

欧拉函数

欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）

φ(p) = p-1

φ(p^k) = p^k * (1 - 1/p) k >= 1

欧拉函数是一个积性函数

狄利克雷卷积

设 f(n), g(n) 是两个数论函数, 令

$h(n)\quad =\quad \sum _{ d|n }^{ }{ f(d)g(\frac { n }{ d } ) }$

称其为 f(n) 与 g(n) 的狄利克雷卷积, 我们用 f(n) ∗ g(n) 表示.

如果f(n)和g(n)也是积性函数，则h(n)也是积性函数

题解：

给你一个n唯一分解后的底数和指数，然后问

$\sum _{ d|n }^{ }{ \varphi (n)\frac { n }{ d } }$

很显然这个东西可以写成狄利克雷卷积

$h(n)\quad =\quad \sum _{ d|n }^{ }{ \varphi (n)\frac { n }{ d } }$

的形式并且 h(n) 是一个积性函数

又因为 $n\quad =\quad { p1 }^{ q1 }\quad *{ \quad p2 }^{ q2 }\quad *\quad ---\quad *{ pn }^{ qn }$

所以： $h(n)\quad =\quad h({ p1 }^{ q1 })\quad *{ \quad h(p2 }^{ q2 })\quad *\quad ---\quad *h({ pn }^{ qn })$

$\\ h({ p }^{ q })\quad =\quad \sum _{ d\quad |\quad { p }^{ q } }^{ }{ \varphi (d)\frac { { p }^{ q } }{ d } } \\ d\quad =\quad \{ 1,\quad p,\quad { p }^{ 2 },\quad ---,\quad { p }^{ d }\} \\ \\ h({ p }^{ q })\quad =\quad \varphi (1)\frac { { p }^{ q } }{ 1 } \quad +\quad \sum _{ i }^{ q }{ \varphi ({ p }^{ i }) } \frac { { p }^{ q } }{ { p }^{ i } } \\ \qquad \quad \quad =\quad { p }^{ q }\quad +\quad \sum _{ i }^{ q }{ { p }^{ i }(1\quad -\quad \frac { 1 }{ p } )\quad { p }^{ q\quad -\quad i } } \\ \quad \quad \quad \quad \quad =\quad { p }^{ q }\quad +\quad \sum _{ i }^{ q }{ { p }^{ q }(1\quad -\quad \frac { 1 }{ p } )\quad } \\ \qquad \quad \quad =\quad { p }^{ q }\quad +\quad { p }^{ q }(1\quad -\quad \frac { 1 }{ p } )\quad *\quad q\\ \\$

然后瞎暴力写就好了。。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 998244353;LL quick_mod(LL a, LL b, LL m){LL ans = 1;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % m;b--;}b >>= 1;a = a * a % m;}return ans;
}
int main(){int T;scanf("%d", &T);while(T--){int N;scanf("%d", &N);LL A = 1;while(N--){LL p, q;scanf("%lld%lld", &p, &q);LL ans = 1;ans = ans * quick_mod(p, q, mod);LL temp = 1;temp = q % mod * (p - 1) % mod;temp %= mod;temp = temp * quick_mod(p, q - 1, mod) % mod;temp %= mod;ans += temp;ans %= mod;A = A * ans % mod;}printf("%lld\n", A  % mod);}return 0;
}

代码比较丑 - - - 233333

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