算法 Tricks（五）—— 将一个序列量化为何值时平方误差最小

设数列为 A[]，区间在 [a, b]，设使量化后误差平方最小的数值为 m，则误差平方关于 m 的函数可以写作如下形式：

∑i=ab(A[i]−m)2=(b−a+1)⋅m2−2m∑i=abA[i]+∑i=abA[i]2

\sum_{i=a}^b\left(A[i]-m\right)^2=\left(b-a+1\right)\cdot m^2-2m\sum_{i=a}^bA[i]+\sum_{i=a}^bA[i]^2
关于 mm 的开口向上的二次函数，因此利用微分很容易求得是上式为最小时的 mm，求得：

m=∑i=abA[i]b−a+1

m=\frac{\sum\limits_{i=a}^bA[i]}{b-a+1}

也即此时的 m<script type="math/tex" id="MathJax-Element-135">m</script> 是平均数。

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