硬币等于骰子（在统计学意义上）

硬币和骰子是统计学家们的心头好。没有硬币，统计学家根据骰子也能创造出来一枚硬币，没有骰子，统计学家们也能根据硬币创造出来一个骰子。

如何通过投掷一枚硬币产生各种概率

概率、随机数、随机数生成函数（面试题）

硬币等于骰子，are you kidding me？我读书少，你不要骗我。
是在统计学上了，物理上显然是不同的。
此话怎讲？

统计学意义上的硬币，其实是产生 {12 ,12 } \{\frac12,\frac12\} 的概率分布；统计学意义上的骰子，则是产生 {16 ,16 ,16 ,16 ,16 ,16 } \{\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16\}的概率分布。想要证明二者是等价的，需证明：

{12 ,12 }⇒{16 ,16 ,16 ,16 ,16 ,16 }{16 ,16 ,16 ,16 ,16 ,16 }⇒{12 ,12 }

\{\frac12,\frac12\}\quad \Rightarrow\quad \{\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16\}\\ \{\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16\}\quad \Rightarrow\quad \{\frac12,\frac12\}

下来，我们会看到整个的解题思路的本质，在构造新的样本空间，再在新的样本空间中适当的取舍，构造符合要求的概率。

从硬币到骰子

思路在二进制，需抛硬币三次（2 3 >6 2^3>6），每次正面向上记为1，反面向上记为0，将得到的结果排列，得到 000−111 000-111的八种等可能情况，策略如下：

001→1010→2011→3100→4101→5110→6

001 \rightarrow 1\\ 010 \rightarrow 2\\ 011 \rightarrow 3\\ 100 \rightarrow 4\\ 101 \rightarrow 5\\ 110 \rightarrow 6\\
000,111 000,\;111重新投掷。

# python
from random import random# random()函数产生0-1均匀分布
from collections import defaultdictdef coin():return 1 if random() < .5 else 0# 仿真硬币0-1分布
def coin2dice():while True:r1, r2, r3 = coin(), coin(), coin()r = r1+r2*2+r3*2**2if r != 0 and r != 7:# 否则继续循环，直到return r
if __name__ == '__main__':coll = defaultdict(int)N = 10**6for i in range(N):coll[coin2dice()] += 1for i in coll:print(i, coll[i]/N)1 0.167048
2 0.166332
3 0.16603
4 0.167182
5 0.166674
6 0.166734

从骰子到硬币

只需一步，奇偶性判断，对骰子的样本空间 {1,2,3,4,5,6} \{1,2,3,4,5,6\} 进行重新组合，二分为 {1,3,5},{2,4,6} \{1,3,5\},\;\{2,4,6\}，

{1,3,5}⇒1{2,4,6}⇒0

\{1,3,5\}\quad \Rightarrow \quad 1\\ \{2,4,6\}\quad \Rightarrow \quad 0

自然也可将骰子的样本空间二分为：{1,2,3},{4,5,6} \{1,2,3\},\;\{4, 5,6\}，只要二者平分1（对应的概率均为 12 \frac12）即可。

def dice2coin():r = int(6*random()+1)return 1 if r%2==0 else 0if __name__ == '__main__':coll = collectiondict(int)N = 10**6for i in range(N):coll[dice2coin()] += 1for i in coll:print(i, coll[i]/N)0 0.49961
1 0.50039

2情况数的硬币等价于 6情况数的骰子的意义是什么

意义在于概率分布的转化，互相转化，一种概率分布向另一种概率分布的转化。

考虑如下的两种场景，

场景1：从两个人中选出一人做某事，费厄泼赖（fair play），两人被选中的概率均为 12 \frac12，此时如果你手头没有一枚硬币，供你通过正反得 12 ,12 \frac12,\frac12的概率分布，而恰有一个骰子，怎么办，此时就用到了如何通过掷骰子得抛硬币的概率分布，也即 {16 ,16 ,16 ,16 ,16 ,16 } \{\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16\} 得 {12 ,12 } \{\frac12,\frac12\}，如前所述，通过奇偶性判断，抛出的点数为奇数，则指派其中一人，点数为偶数，则指派另一个人。

场景2：从6个人中费厄泼赖地选出一人做某事。此时你没有骰子，只有硬币。如前所述，抛三次，001−110 001-110分别对应于1−6 1-6，000/111 000/111则重新抛掷（以构造情况数为6的等概率分布）。