直线分割平面问题（数学归纳法）

试问平面上 nn 条彼此相交而无三者共点的直线能够把平面分割成多少部分？

我们先从简单的事实出发，设平面分为 SnS_n 部分，

n=1n=1，Sn=2S_n=2
n=2n=2，Sn=4S_n=4
n=3n=3，Sn=7S_n=7
n=4n=4，Sn=11S_n=11
n=5n=5，Sn=15S_n=15

由观察发现：

S1=1+1S2=1+1+2S3=1+1+2+3

\begin{split} &S_1=1+1\\ &S_2=1+1+2\\ &S_3=1+1+2+3 \end{split}

以此类推，便可猜想得到：

Sn=1+1+2+⋯+n=1+n(n+1)2

S_n=1+1+2+\cdots+n=1+\frac{n\left(n+1\right)}2

或者：

Sn=Sn−1+n=S1+2+3+⋯+n=2+2+3+⋯+n=1+1+2+⋯+n=1+n(n+1)2

\begin{split} S_n=S_{n-1}+n&=S_1+2+3+\cdots+n\\ &=2+2+3+\cdots+n\\ &=1+1+2+\cdots+n\\ &=1+\frac{n\left(n+1\right)}2 \end{split}

下面我们使用数学归纳法的思想进行证明，其实是证明在 Sn=1+n(n+1)2S_n=1+\frac{n\left(n+1\right)}2 成立的前提下，Sn+1S_{n+1} 是否也符合这一等式，也即 Sn+1=1+(n+1)(n+2)2S_{n+1}=1+\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}2

这里，我们需要明白一个基本结论，如果当前有 n 条直线，新增加一条直线（第 n+1 条直线），可以多出来 n 个交点（新的直线和之前所有的直线都有交点），而多出来 n 个交点对应到可以多出 n+1 个平面（比如从两条线，又新增一条线时，新的线和两条线都相交，作用在三个区域上，对这三个区域切分，增加三个平面）。

也即：

Sn+1=Sn+(n+1)=1+(n+1)(n+2)2

S_{n+1}=S_n+\left(n+1\right)=1+\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}2

如此建立的是一种递归证明；

1. 举一反三

同样我们还可以这样问，每次切分不被改变的区域有多少个？

以下三元组中的每一个元素，分别表示，线段的个数，分割的区域数，以及未受到本次切分影响的区域

1、2、0
2、4、0
3、7、4-3
4、11、7-4

未受到影响的区域为：

Sn−1−n=1+n(n−1)2−n=(n−1)(n−2)2

S_{n-1}-n=1+\frac{n(n-1)}2-n=\frac{(n-1)(n-2)}2

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