卷积神经网络的权值参数个数的量化分析

考虑 103×10310^3\times 10^3 的输入图像：

全连接，隐层神经元的数目为 10610^6 时，则每一个输入像素与每一个隐层神经元之间都是待学习的参数，
- 数目为 106×106=101210^6\times 10^6=10^{12}
卷积，卷积核的大小为 10×1010\times 10 时，
- 步长为 10，103×10310×10×(10×10)\frac{10^3\times 10^3}{10\times 10}\times \left(10\times 10\right)，103×10310×10\frac{10^3\times 10^3}{10\times 10}表示的是输入图像可划分的块数，也即经卷机作用后的输出图像；
- 步长为 1，(103−10+1)×(103−10+1)⋅(10×10)\left(10^3-10+1\right)\times\left(10^3-10+1\right)\cdot \left(10\times 10\right)
- 在不考虑步长的前提下，可近似将待学习的参数的数目视为 (103×103)⋅(10×10)\left(10^3\times 10^3\right)\cdot \left(10\times 10\right)

1. 全连接层对参数个数的显著提升

现考虑图像输入层和 500 个隐层神经元的全连接：

MNIST：28×28×1×500=39200028\times 28\times 1\times 500=392000
CIfar：32×32×3×500=153600032\times 32\times 3\times 500=1536000
- 而对于卷积操作而言，如 5×55\times 5 深度为 16 的卷积核而言，则需要的计算量为：5×5×3×16+16=12165\times 5\times 3\times 16+16=1216，极大地降低了参数的规模；

参数增多导致计算速度减慢，且很容易导致过拟合。

2. 卷积的共享参数特性

通过一个某一卷积核（过滤器），将一个 2×2×32\times 2\times 3 的节点矩阵变化为 1×1×51\times 1\times 5 的单位节点矩阵，则本次卷积操作，共需要的参数为：

2×2×3×5+5⇒65

2\times 2\times 3\times 5+5 ⇒ 65

+5 表示偏值项参数，

对于 cifar-10 数据集，输入层矩阵的维度是 32×32×332\times 32\times 3，假设第一层卷积层使用尺寸为 5×55\times 5 深度为 16，则此卷基层的参数为：

5×5×3×16+×16=1216

5\times 5\times 3\times 16+\times 16=1216

注意区分卷积层的参数，与当前输入层与卷积层的连接的个数（也即参数的个数与连接的数目）：

比如对于 LeNet-5 网络，32×3232\times 32 的输入数据，经过 5×5×1×65\times 5\times 1\times 6 的卷积，得到 28×28×628\times 28\times 6 的特征映射：

卷积层的参数：5×5××1×6+6=1565\times 5\times \times 1\times 6+6=156
- 核的长*核的宽*输入的通道数*输出的通道数；
卷积层共 28×28×6=470428\times 28\times 6=4704 个节点，每个节点和 5×55\times 5 个当前输入层节点相连，因此共连接数：4704×(5×5+1)=1223044704\times(5\times 5+1)=122304
- 连接的数目与输入层的大小无关；

3. 卷积输出矩阵尺寸的大小

通过使用填充（padding，比如 zero-padding），或者使用过滤器移动的步长来结果输出矩阵的大小。

下面的公式给出在同时使用全零填充时结果矩阵的大小：

outlength=⌈inlength/stridelength⌉outwidth=⌈inlength/stridewidth⌉

out_{length}=\lceil in_{length}/stride_{length} \rceil\\ out_{width}=\lceil in_{length}/stride_{width} \rceil

如果不使用填充：

outlength=⌈(inlength−filterlength+1)/stridelength⌉outwidth=⌈(inlength−filterwidth+1)/stridewidth⌉

out_{length}=\lceil (in_{length}-filter_{length}+1)/stride_{length} \rceil\\ out_{width}=\lceil (in_{length}-filter_{width}+1)/stride_{width} \rceil