前言：接触计算机的同学学习基础课程时，不免会碰到十进制转二进制 / 八进制 / 十六进制这种问题。常见的方法有“除以2/8/16看余数”。本文在介绍方法的前提上，对其数学原理进行了通俗的解释。

二进制与十进制

不考虑汇编语言的特性，对于一个字节：1 0 0 1 1 0 1 0，将其转十进制即为

$2^7 \times 1 + 2^6 \times 0 + 2^5 \times 0 + 2^4 \times 1 + 2^3 \times 1 + 2^2 \times 0 + 2^1 \times 1 + 2^0 \times 0 = 154$

要注意最低位（最右边的位）代表的是2的0次方，而非1次方。总之，二进制转十进制很简单。这里为后文做铺垫。

十进制转二进制手算方法

以154为例：将154不断除以2，取余数，最后从底部取数，作为二进制的开头。

操作	上一行操作的商值	余数
154除以2	154	0
77除以2	77	1
38除以2	38	0
19除以2	19	1
9除以2	9	1
4除以2	4	0
2除以2	2	0
1除以2	1	1

最后所得二进制值即10011010。

结果是正确的，但是这个方法的道理/数学原理是什么？

数学原理

十进制数154，对应的二进制为10011010，即 $2^7 \times 1 + 2^4 \times 1 + 2^3 \times 1 + 2^1 \times 1 = 154$ ，我们将这个式子进行与上述方法同样的操作。

操作	上一行操作的商值	余数
154除以2	154 = 2^7 * 1 + 2^4 * 1 + 2^3 * 1 + 2^1 * 1	0
77除以2	77 = 2^6 * 1 + 2^3 * 1 + 2^2 * 1 + 2^0 * 1	1
38除以2	38 = 2^5 * 1 + 2^2 * 1 + 2^1 * 1	0
19除以2	19 = 2^4 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1	1
9除以2	9 = 2^3 * 1 + 2^0 * 1	1
4除以2	4 = 2^2 * 1	0
2除以2	2 = 2^1 * 1	0
1除以2	1 = 2^0 * 1	1

如上表，不断除以2实际上是一种“将二进制高位降档”的过程：

对于最高位的2，比如10011010最左边的1，当然要除以7次2才能把低位的1和0“清理干净”；
实际上，还可把除以2理解为一种“吞掉低位数字”，即第一次除以2将10011010末尾的0吞掉，吐出1001101，以此类推；
不管怎么理解，都与定义规则规则息息相关。

【附】定义规则：对于 $\omega$ 位的二进制数 $X = x_\omega x_{\omega-1} ... x_{2}x_{1}$ ，其转换为十进制即 $B2U(X) = \sum_{i=1}^{\omega} x_i \cdot 2^{i-1}$ 。

拓展：十进制转八进制、十六进制

那现在读者也一定知道八进制转二进制的做法和原理了吧？我来举个例子，比如十进制数109。

操作	上一行操作的商值	余数
109除以8	109 = 8^2 * 1 + 8^1 * 5 + 8^0 * 5	5
13除以8	13 = 8^1 * 1 + 8^0 *5	5
1除以8	1 = 8^0 * 1	1

即109的八进制为155。

转为十六进制例子如下。

操作	上一行操作的商值	余数
109除以16	109 = 16^1 * 1 + 16^0 * 13	D(13)
6除以16	6 = 16^0 * 6	6

即109的十六进制为6D。

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