史上最简单理解数学分析里蕴含(⇒)的意思
目录
- 前言
- 结论
- 分析
- 验证
- 1. A和B相关
- 2. A和B不相关
- 拓展
前言
数学分析里面A蕴含B，记作：A⇒B（在逻辑学上记作A→B），其真值表如下（其中T为TRUE，F为FALSE）
A B A⇒BT T TT F FF T TF F T
结论
显然上面A⇒B的真值表等价于下面两个结论：
- Ⅰ. 如果A是真的，那么B必定是真的；
- Ⅱ. 如果A是假的，那么B可能为真也可能为假。
分析
仔细观察上面两个结论都用到了可能这个词语，笔者自创一个词叫可能域（只有两个值，可能和不可能）。在可能域上我们可定义一种关系叫拓扑包含，这种拓扑包含其实就是蕴含。注意到A和B要么相关要么不相关，当A和B相关时，这种拓扑包含就是一种简单包含关系。下面就分相关和不相关情况来验证上面的结论。
验证
1. A和B相关
A：太阳打东边出来（真） / 太阳打西边出来（假）。
B：牛脚有四只（真） / 牛脚不是四只（真）。
根据上面的结论翻译出两段话：
- Ⅰ. 如果太阳打东边出来，那么牛脚必定有四只；
- Ⅱ. 如果太阳打西边出来，那么牛脚可以是四只也可以不是。
第Ⅱ显然，太阳都打西边出来了，还有啥不可能，是吧。
第Ⅰ，我们来反证一下，如果太阳打东边出来，那么牛脚有没有可能不是四只？常识来看显然不可能，所以反证成功。
所以这种情况结论显然验证。
2. A和B不相关
A：Danny来过广州（真） / Danny没来过广州（假）
B: Danny来过中国 （真） / Danny没来过中国（假）
根据上面的结论翻译出两段话：
- Ⅰ. 如果Danny来过广州，那么Danny必定来过中国；
- Ⅱ. 如果Danny没来过广州，那么Danny可能来过中国也可能没来过中国。
按照普通逻辑思维，上面的结论显而易见。
所以这种情况结论显然验证。
拓展
画张图来描述上面这种简单包含关系，得出一个结论，如果A⇒B，则B的可能域要简单包含A的可能域。如下图我们可以看到，如果Danny不在A域，则可能在B域也可能在C域。
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