【技术流派】双目立体视觉系统空间精度：精确定量分析

在往期文章【技术流派】教你提高双目立体视觉系统的精度！中，博主关于立体视觉系统的精度做了一个较为具体的分析，但整体来说是定性的，本篇再次关于精度做一次定量分析，毕竟绝大部分场景下精度都始终是第一要素，定量分析更有助于系统设计和精度优化。希望看完此篇，读者能更深一步了解精度的决定因素以及它们各自对精度所影响的尺度，以及能够回答如下三个问题：

1. 双目立体视觉系统的精度由那些因素决定？
2. 各个因素对精度的决定程度一样吗？
3. X/Y/Z三个方向的精度都是一样的吗？如果不是一样，哪个方向精度更好呢？

文章目录

Z方向精度
XY方向精度
X/Z精度曲线
参考文献

最常见的情况下，双目立体视觉的最终输出是左相机坐标系下的XYZ坐标，本篇便以这三个分量为精度分析对象。

首先，做一些变量的定义：

bbb：基线长度
fff：焦距
x,yx,yx,y ：像点坐标（以像主点为原点）
X,Y,ZX,Y,ZX,Y,Z：相机坐标系下的坐标
ddd：视差

我们先看这三个分量的求解公式：
Z=bfd,X=Zfx,Y=ZfyZ=\frac {bf} d,X=\frac Z f x,Y=\frac Z f yZ=dbf,X=fZx,Y=fZy

从公式可知，在硬件参数B,fB,fB,f固定的情况下，XYZXYZXYZ的值和像点坐标值直接相关， XYZXYZXYZ的精度实际上是像点精度下的空间偏差值，因此我们以像点精度为基本（最小）精度单位。

假设像点x,yx,yx,y的精度为sx,sys_x,s_ysx,sy，视差ddd的精度为sds_dsd。通常认为x,yx,yx,y的精度是相同的，即sx=sy=ss_x=s_y=ssx=sy=s，而视差的精度一般来说可以用公式sd=sx2s_d = \frac {s_x} {\sqrt 2}sd=2sx来估计¹。

Z方向精度

首先对于Z=bfdZ=\frac {bf} dZ=dbf，自变量是ddd，我们对ddd求偏导，可得
∂Z∂d=−bfd2=−Z2bf\frac {\partial Z} {\partial d}=-\frac {bf} {d^2}=-\frac {Z^2} {bf}∂d∂Z=−d2bf=−bfZ2

因此，ZZZ方向的精度可以表示为
sZ=Z2bfsd=Z22bfss_Z=\frac {Z^2} {bf}s_d=\frac {Z^2} {\sqrt 2bf}ssZ=bfZ2sd=2bfZ2s

可知ZZZ方向精度和ZZZ的平方正相关，即和物体离相机的距离的平方正相关（严格来说是ZZZ方向距离）。

同时，上式可以变换一种形式：
sZ=ZbZfsds_Z=\frac {Z} {b}\frac {Z} {f}s_dsZ=bZfZsd

假设q=Zb,m=Zfq=\frac {Z} {b},m=\frac {Z} {f}q=bZ,m=fZ，则qqq是我们所熟知的基高比的倒数，mmm是影像的尺度（即GSD，一个像素代表的空间尺寸），这个公式显示，基高比和GSD对ZZZ方向精度起着关键作用，更大的基高比和更小的GSD有助于提高ZZZ方向精度。这可以用于指导双目立体视觉系统的设计。

XY方向精度

同理，对于XXX，自变量是ZZZ和xxx，我们对ZZZ和xxx求偏导，可得
∂X∂Z=xf,∂X∂x==Zf\frac {\partial X} {\partial Z}=\frac x f,\frac {\partial X} {\partial x}==\frac Z f∂Z∂X=fx,∂x∂X==fZ

XXX方向精度可表示为
sX=(xfsZ)2+(Zfsx)2s_X=\sqrt {{(\frac x f s_Z)}^2+{(\frac Z f s_x)}^2}sX=(fxsZ)2+(fZsx)2

同理，YYY方向精度可表示为
sY=(yfsZ)2+(Zfsy)2s_Y=\sqrt {{(\frac y f s_Z)}^2+{(\frac Z f s_y)}^2}sY=(fysZ)2+(fZsy)2

把sZ=Z22bfs,sx=sy=ss_Z=\frac {Z^2} {\sqrt 2bf}s,s_x=s_y=ssZ=2bfZ2s,sx=sy=s代入公式，可得

sX=1+(xZ2fb)2Zfs=1+(X2b)2Zfss_X=\sqrt {1+{(\frac {xZ} {\sqrt 2 fb})}^2}\frac Z f s=\sqrt {1+{(\frac X {\sqrt 2 b})}^2}\frac Z f ssX=1+(2fbxZ)2fZs=1+(2bX)2fZs
sY=1+(yZ2fb)2Zfs=1+(Y2b)2Zfss_Y=\sqrt {1+{(\frac {yZ} {\sqrt 2 fb})}^2}\frac Z f s=\sqrt {1+{(\frac Y {\sqrt 2 b})}^2}\frac Z f ssY=1+(2fbyZ)2fZs=1+(2bY)2fZs

可以看出，sXs_XsX和sYs_YsY是等尺度的，结合前式，
sZ=Z22bfss_Z=\frac {Z^2} {\sqrt 2bf}ssZ=2bfZ2s

得到三个方向的精度表达式。

X/Z精度曲线

为了更清晰的观察三个方向精度随着ZZZ值变化的趋势，我们来做一个仿真，假设像点精度为10μm\mu mμm，计算并绘制ZZZ和XXX方向（YYY方向和XXX方向等尺度，趋势一致）的精度曲线。

其他参数仿真数据：

f=1100f = 1100f=1100 pix
x=640x = 640x=640 pix
b=200b = 200b=200 mm

绘制的精度曲线如下：

从精度计算的结果和趋势图可以看出，精度数值随着ZZZ的增加而变大（意味着精度越来越差），且当ZZZ值较大时，ZZZ方向精度比X(Y)X(Y)X(Y)方向精度要差，随着Z的增加，差距更加明显。

而当ZZZ值较小时，ZZZ方向精度反而会比XYXYXY方向要好，我们将Z的范围减小到0~500，再绘制一条曲线图，

可以看到，在ZZZ小于350mm左右时，ZZZ方向精度要好于XXX方向，这个临界ZZZ值是根据硬件参数和精度公式计算出的，且和像点坐标相关。

参考文献

- [1] Walker, Stewart. Close-Range Photogrammetry and 3D Imaging, 2nd Edition[J]. Photogrammetric Engineering & Remote Sensing, 2015.

博主简介：
Ethan Li 李迎松（知乎：李迎松）
武汉大学摄影测量与遥感专业博士
主方向立体匹配、三维重建
2019年获测绘科技进步一等奖（省部级）

爱三维，爱分享，爱开源
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