0. 序

本篇分析linux内核中的struct reciprocal_value和struct reciprocal_value_adv背后的数学原理，参考论文Division by Invariant Integers using Multiplication。

1. basics

核心想法是这样，在除数是常数的情况下，我们希望用乘法和移位指令来代替除法（通常情况下这是更快的）。这可以发生在编译时（作为一种编译优化），或者发生在运行时（软件实现）。整数除法有不同的情况：有符号还是无符号，向0舍入还是向无穷舍入？原论文讨论了许多的情况。我们只分析最常见的一种（linux也只实现了这一种）：无符号除法，并向0舍入。

我们假设计算机使用N位bit来表示一个整数，那么可以把问题数学化为：给定除数d,1≤d≤2N−1d, 1 \leq d \leq 2^N - 1d,1≤d≤2N−1，希望找到合适的正整数m,lm, lm,l，使得对∀n,1≤n≤2N−1\forall n, 1\leq n \leq 2^N-1∀n,1≤n≤2N−1，有下式成立
[nd]=[mn2N+l][\frac{n}{d} ]= [\frac{mn}{2^{N +l}}] [dn]=[2N+lmn]
这样我们便可以把除法转化为一个乘法和移位操作了。不过注意这里的乘法是数学上的乘法，换到计算机里，实际需要做的是一个宽度为2N的乘法（即不能丢掉高位bit）。

直观上来看，为了使上式成立，我们需要尽可能得使m∗dm*dm∗d接近2N+l2^{N+l}2N+l，取n=dn=dn=d，可知k=m∗d−2N+l≥0k = m*d - 2^{N+l}\geq 0k=m∗d−2N+l≥0，设n=qd+r,0≤r≤d−1n = qd + r, 0\leq r \leq d - 1n=qd+r,0≤r≤d−1。上式成立等价于
kn2N+ld+rd<1\frac{kn}{2^{N+l}d}+\frac{r}{d} < 1 2N+ldkn+dr<1
若取k≤2lk \leq 2^lk≤2l，则有
kn2N+ld+rd<2l∗2N2N+l∗d+d−1d=1\frac{kn}{2^{N+l}d}+\frac{r}{d} < \frac{2^l*2^N}{2^{N+l}*d} + \frac{d-1}{d} = 1 2N+ldkn+dr<2N+l∗d2l∗2N+dd−1=1
因此我们得到了原论文中的定理4.2

为了保证这样的m存在，我们只需2l+1≥d2^l + 1 \geq d2l+1≥d，因此通常取
l=⌈log2d⌉m=[2N+ld]+1可得范围:2N+1≤m≤2N+1−1l = \lceil log_2d\rceil \\ m = [\frac{2^{N+l}}{d}]+1 \\ 可得范围 : 2^N+1 \leq m \leq 2^{N+1} - 1 l=⌈log2d⌉m=[d2N+l]+1可得范围:2N+1≤m≤2N+1−1
可以看到，m是没办法用Nbit来表示的。因此定义m′=m−2Nm' = m - 2^Nm′=m−2N。并定义H(xy)H(xy)H(xy)表示乘法的高N位bit，L(xy)L(xy)L(xy)表示乘法的低N位bit，这样有
[nq]=[mn2N+l]=[m′n2N+l+n2l]=[H(m′n)+n2l+L(m′n)2N+l]=[H(m′n)+n2l]最后一步用到了：L(m′n)2N+l<12l[\frac{n}{q}] = [\frac{mn}{2^{N +l}}] = [\frac{m'n}{2^{N+l}}+\frac{n}{2^l}] = [\frac{H(m'n)+n}{2^l} +\frac{L(m'n)}{2^{N+l}}] = [\frac{H(m'n)+n}{2^l}] \\ 最后一步用到了：\frac{L(m'n)}{2^{N+l}} < \frac{1}{2^l} [qn]=[2N+lmn]=[2N+lm′n+2ln]=[2lH(m′n)+n+2N+lL(m′n)]=[2lH(m′n)+n]最后一步用到了：2N+lL(m′n)<2l1
我们可以提前算好m′,lm',lm′,l，因此每次除法的开销变为一次高N位bit的乘法，一次加法，一次移位操作。但这里有一个麻烦的地方是这里的加法可能会溢出。按照论文中记t1=H(m′n)t_1 = H(m'n)t1=H(m′n)，我们改写结果为
[H(m′n)+n2l]=[t1+[n−t12]2l−1][\frac{H(m'n)+n}{2^l}] = [\frac{t_1+[\frac{n-t_1}{2}]}{2^{l-1}}] [2lH(m′n)+n]=[2l−1t1+[2n−t1]]
这样避免了溢出的问题，但开销增加到了两次加减法，两次移位，一次高位乘法。另外还需要额外考虑l=0l=0l=0的情况（此时d=1d=1d=1），这时候这个变换就不合理了。最终得到如下的linux代码（reciprocal_div.c）

struct reciprocal_value {u32 m;  // 这就是前面提到的 m'u8 sh1, sh2;  // 当 d != 1时，sh1 = 1, sh2 = l - 1
};struct reciprocal_value reciprocal_value(u32 d) // 预处理函数
{struct reciprocal_value R;u64 m;int l;l = fls(d - 1);m = ((1ULL << 32) * ((1ULL << l) - d));do_div(m, d);++m;R.m = (u32)m;R.sh1 = min(l, 1);R.sh2 = max(l - 1, 0);return R;
}static inline u32 reciprocal_divide(u32 a, struct reciprocal_value R)
{  // 除法替换为乘法，加减法和移位操作u32 t = (u32)(((u64)a * R.m) >> 32);return (t + ((a - t) >> R.sh1)) >> R.sh2;
}

2. improvement

在此基础上，论文中提出了若干优化手段：

若选取的mmm是偶数，那么可以用m/2m/2m/2替换mmm，同时l−1l-1l−1替换lll，结果不变，但此时mmm就可以用Nbit来表示了，这样只需要一次高位乘法，一次移位就可以得到结果。
若ddd是偶数，那么对某个正整数eee，有[nd]=[[n/2e]d/2e][\frac{n}{d}]=[\frac{[n/2^e]}{d/2^e}][dn]=[d/2e[n/2e]]，这样每次做除法前先将nnn右移eee位，这样在basics中证明定理4.2时的条件可以放宽为1≤n<2N−e1 \leq n < 2^{N-e}1≤n<2N−e，这样便可以把kkk的取值范围放宽为k≤2l+ek \leq 2^{l+e}k≤2l+e，因此m会有更宽的选择范围。因此也更容易将m选到偶数（这样说不太准确，因为此时l=[log2d2e]l = [log_2{\frac{d}{2^e}}]l=[log22ed]，因此选择宽度并没有发生变化，但是因为lll变小了，因此选择范围确实发生了变化，总的来说增加了选到mmm是偶数的概率）。

这对应到linux的代码中为

struct reciprocal_value_adv {u32 m;u8 sh, exp;bool is_wide_m;  // 如果通过优化，使得m能够用32bit表示，那么is_wide_m为false，// 此时上面的u32 m表示原始的m，否则is_wide_m为true，u32 m表示的是m'
};// 第一次调用时传入prec为32，如果返回的is_wide_m为true，那么caller判断d是否为偶数，如果是
// 则再次调用reciprocal_value_adv(d >> e, 32 - e)
struct reciprocal_value_adv reciprocal_value_adv(u32 d, u8 prec)
{struct reciprocal_value_adv R;u32 l, post_shift;u64 mhigh, mlow;/* ceil(log2(d)) */l = fls(d - 1);/* NOTE: mlow/mhigh could overflow u64 when l == 32. This case needs to* be handled before calling "reciprocal_value_adv", please see the* comment at include/linux/reciprocal_div.h.*/WARN(l == 32,"ceil(log2(0x%08x)) == 32, %s doesn't support such divisor",d, __func__);post_shift = l;mlow = 1ULL << (32 + l);do_div(mlow, d);mhigh = (1ULL << (32 + l)) + (1ULL << (32 + l - prec));do_div(mhigh, d); // m的取值范围为(mlow, mhigh]for (; post_shift > 0; post_shift--) {  // 选出范围中包含2的幂次最大的mu64 lo = mlow >> 1, hi = mhigh >> 1;if (lo >= hi)break;mlow = lo;mhigh = hi;}R.m = (u32)mhigh;R.sh = post_shift;R.exp = l;R.is_wide_m = mhigh > U32_MAX;return R;
}

额外的一点是，linux没有实现l=32l=32l=32的情形（此时d>231d > 2^{31}d>231），因为这个时候需要128位的除法来计算mlow,mhigh。这种情况下软件模拟来进行128位除法的开销太大了。

That’s all.

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