分布，在计算机学科里一般是指概率分布，是概率论的基本概念之一。分布反映的是随机或某个系统中的某个变量，它的取值的范围和规律。

常见的分布有：二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布等，下面对它们进行一一介绍。

PS：本文中谈到的PDF、PMF、CDF均为公认的缩写方式：

PDF：概率密度函数(probability density function)；

PMF：概率质量函数(probability mass function)；

CDF：累积分布函数(cumulative distribution function)。

二项分布

说起二项分布，离不开伯努利实验，二项分布就是重复N次的伯努利实验(伯努利实验，是指一种只有两种相反结果的随机试验，比如抛硬币，结果只有正面和反面；又比如投篮，只有投中和没有投中两种结果)。它的PMF可写作：

其中k为在n次实验中命中的次数，成功的概率为p。

二项分布的CDF可以写作：

例子：抛10次硬币，有2次正面朝上的概率是多少？下面分别用C++实现和用numpy证明结果

C++实现：

#include #include#include

double calc_binomial(int n, int k, doublep)

{if(n < 0 || k < 0)return 0.0;

std::vector< std::vector< double > > binomials((n + 1), std::vector< double >(k + 1));

binomials[0][0] = 1.0;for(int i = 1; i < (n + 1); ++i)

binomials[i][0] = (1.0 - p) * binomials[i - 1][0];for(int j = 1; j < (k + 1); ++j)

binomials[0][j] = 0.0;for(int i = 1; i < (n + 1); ++i)for (int j = 1; j < (k + 1); ++j)

binomials[i][j]= (1.0 - p) * binomials[i - 1][j] + p * binomials[i - 1][j - 1];returnbinomials[n][k];

}intmain()

{

std::cout<< std::fixed << std::setprecision(8) << calc_binomial(10, 2, 0.50) <<:endl>

}

结果为：0.04394531

Python实现：

importnumpy as npfrom scipy importstatsimportmatplotlib.pyplot as pltdefcalc_binomial():

n= 10p= 0.5k= 2binomial=stats.binom.pmf(k,n,p)printbinomial

calc_binomial()

结果为：0.0439453125

反之，知道投10次硬币朝上的平均概率为0.3(即平均有3次朝上)，试着从10000次实验中找出规律。

用C++实现：

#include #include#include#include#include#include

int gen_binomial_rand(int n, doublep)

{int k = 0;for(int i = 0; i < n; i++)

{double current_probability = ((double)rand() / (double)RAND_MAX);if(current_probability

{

k++;

}

}returnk;

}intmain()

{

srand((unsigned)time(NULL));int gn = 10;double gp = 0.3;int times = 10000;int sum_of_times = 0;

std::vector< int >result(gn);for(int t = 0; t < times; t++)

{int single_result =gen_binomial_rand(gn, gp);if(single_result

{

result[single_result]++;

}

}

std::cout<<:endl i="0;" gn>

{

sum_of_times+=result[i];

std::cout<< result[i] << ",";

}

std::cout<<:endl>

std::cout<< "Total:" << sum_of_times <<:endl>

}

结果为：

323,1199,2310,2631,1951,1103,367,97,18,1,

Total: 10000

拿到Python里面用图表看一下：

importnumpy as npfrom scipy importstatsimportmatplotlib.pyplot as pltdefshow_binom_rvs():

n= np.array([323,1199,2310,2631,1951,1103,367,97,18,1])

plt.plot(n)

plt.show()

show_binom_rvs()

显示为：

我们再来用Python的numpy和scipy的库来验证一下：

importnumpy as npfrom scipy importstatsimportmatplotlib.pyplot as pltdefcalc_binom_rvs():

binom_rvs= stats.binom.rvs(n=10,p=0.3,size=10000)

plt.hist(binom_rvs, bins=10)

plt.show()

calc_binom_rvs()

得到结果图片：

可以看到两次的图形包络是近似的。

泊松分布

在日常生活中，我们经常会遇到一些事情，这些事情发生的频率比较固定，但是发生的时间是不固定的，泊松分布就是用来描述单位时间内随机事件的发生概率。比如：知道一个医院平均每小时有3个小孩出生，那么下一个小时出生2个小孩的概率是多少？

泊松分布的PMF可以写作：

其中，t为连续时间长度，k为事件发生的次数，λ为发生事件的数学期望(如单位时间内发生事件的均值)，e为自然底数。

就上面的例子，知道一个医院平均每小时有3个小孩出生，那么下一个小时出生2个小孩的概率是多少？用C++实现：

#include #include#include

double calc_poisson(int k, intlambda)

{doubleresult;

result= pow(lambda, k) * exp(-lambda);int factorial = 1;for(int i = 1; i <= k; i++)

{

factorial*=i;

}result= result /factorial;returnresult;

}intmain()

{

std::cout<< std::fixed << std::setprecision(8) << calc_poisson(2, 3) <<:endl>

}

结果是：0.22404181

用Python验证：

importnumpy as npfrom scipy importstatsimportmatplotlib.pyplot as pltdefcalc_poisson():

lambd= 3k= 2y=stats.poisson.pmf(k,lambd)printy

calc_poisson()

结果是：0.224041807655

下面再用C++实现生成泊松随机数，并用Python检验：

C++实现：

#include

#include

#include

#include

#include

#include

double binary_random()

{

double rand_number = (rand() % 100);

rand_number /= 100;

return rand_number;

}

int calc_poisson(int lambda)

{

int k = 0;

double p = 1.0;

double l = exp(-lambda);

while(p >= l)

{

double r = binary_random();

p *= r;

k++;

}

return (k - 1);

}

int main()

{

int t = 10000;

int lambda = 3;

int distribution = 20;

int dist_cells[distribution] = {0};

srand((unsigned)time(NULL));

for(int i = 0; i < t; i++)

{

int n = calc_poisson(lambda);

dist_cells[n]++;

}

for(int i = 0; i < distribution; i++)

{

std::cout << dist_cells[i] << ",";

}

std::cout << std::endl;

return 0;

}

运行结果为：467,1604,2298,2264,1608,952,466,217,87,29,6,2,0,0,0,0,0,0,0,0,

放入Python显示并和Python生成的比较：

importnumpy as npfrom scipy importstatsimportmatplotlib.pyplot as pltdefgen_poisson_rvs():

dist= 20cpp_result= np.array([467,1604,2298,2264,1608,952,466,217,87,29,6,2,0,0,0,0,0,0,0,0])

py_result= np.random.poisson(lam=3,size=10000)

plt.hist(py_result,bins=dist,range=[0,dist],color='g')

plt.plot(cpp_result,color='r')

plt.show()

gen_poisson_rvs()

运行并显示图表为：

指数分布

指数分布，描述的是在某一事件发生后，在连续时间间隔内继续发生的概率。比如上面的例子，知道一个医院平均每小时有3个小孩出生，刚刚已经有一个小孩出生了，那么下一个小孩在15分钟内出生的概率是多少？

指数分布的CDF可以写作：

其中t为时间长度，e为自然底数。

下面用C++实现：

#include #include#include

double calc_exponential(double lambda, doublet)

{doubleresult;

result= (1 - exp((-lambda) *t));returnresult;

}intmain()

{

std::cout<< std::fixed << std::setprecision(8) << calc_exponential(3, 0.25) <<:endl>

}

结果为：0.52763345

用Python验证：

importnumpy as npfrom scipy importstatsimportmatplotlib.pyplot as pltdefcalc_expon():

lambd= 3x= np.arange(0,1,0.25)

y= 1 - np.exp(-lambd *x)printy

calc_expon()

结果为：[ 0.          0.52763345  0.77686984  0.89460078]

其中x=0.25时结果为0.52763345

下面是生成lambda=3的指数分布随机数，样本数是10000。同样是用C++实现，Python验证。

C++实现：

#include #include#include#include#include#include

double calc_exponential(doublelambda)

{double expon_rand = 0.0;while(1)

{

expon_rand= ((double)rand()/(double)RAND_MAX);if(expon_rand != 1)

{break;

}

}

expon_rand= ((-1 / lambda) * log(1 -expon_rand));returnexpon_rand;

}intmain()

{int t = 10000;double lambda = 3;const int distribution = 20;double dist_cells[distribution] = {0};

srand((unsigned)time(NULL));for(int i = 0; i < t; i++)

{int n =calc_exponential(lambda);

dist_cells[n]++;

}for(int i = 0; i < distribution; i++)

{

std::cout<< dist_cells[i] << ",";

}

std::cout<<:endl>

}

结果是：9515,469,16,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

放入Python并用Python生成的对比：

importnumpy as npfrom scipy importstatsimportmatplotlib.pyplot as pltdefgen_expon_rvs():

cpp_result= np.array([9515,469,16,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0])

lambd_recip= 0.33py_result= stats.expon.rvs(scale=lambd_recip,size=10000)

plt.plot(cpp_result,color='r')

plt.hist(py_result,color='b')

plt.xlim(0,20)

plt.show()

gen_expon_rvs()

得到图片：

PS：其中最大值不一致的情形并不是计算错误，而是X轴的分布单位不一致，Python的是浮点的，而C++的代码是整形的，所以看到Python的分布最大值比较小是因为平均到了小数。

正态分布(高斯分布)

翻开任何一本讲统计的数学书，对于正态分布大抵会有相似的描述：若一个随机变量X服从一个数学期望为λ，标准差为σ的概率分布，且PDF为：

则称这个随机变量为正态随机变量。

当λ=0，σ=1时，称其为标准正态分布，PDF简化为：

在现实中，有大量的案例是符合正态分布的，比如全中国18岁以上男性人口的身高分布，170cm左右的占绝大部分，160和180的占较少部分，150以下和190以上的占极少部分。

说起正态分布的例子，有个著名的实验是不得不提的，那就是高尔顿钉板实验。

高尔顿钉板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉，并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。在等可能性(即小球落在左边和落在右边的概率均为50%)的情况下，小球落下后满足正态分布。

下面的代码用C++计算模拟高尔顿实验过程，并把结果放到Python显示出来。

C++模拟实验过程：

#include #include#include#include#include#include

intbinary_random()

{double rand_number = (rand() / (double)RAND_MAX);if(rand_number > 0.5)return 1;else return 0;

}void galton_test(int num_of_cells, intnum_of_balls)

{

srand((unsigned)time(NULL));

std::vector< int >cells(num_of_cells);intrand;for(int i = 1; i <= num_of_balls; i++)

{int cell = 0;for(int j = 1; j < num_of_cells; j++)

{int rand =binary_random();

cell+=rand;

}

cells[cell]++;

}

std::cout<<:endl i="0;" num_of_cells>

{

std::cout<< cells[i] << ",";

}

std::cout<<:endl>

}intmain()

{

galton_test(20, 5000);

}

结果为：0,0,3,14,45,95,264,481,720,886,911,741,452,240,95,45,6,1,1,0,

结果每次都不一样，但将其放入以下Python代码显示：

importnumpy as npfrom scipy importstatsimportmatplotlib.pyplot as pltdefshow_galton():

n= np.array([0,0,3,14,45,95,264,481,720,886,911,741,452,240,95,45,6,1,1,0])

plt.plot(n)

plt.show()

show_galton()

得到以下图片：

可以看出，是个明显的钟型曲线，说明高尔顿实验是满足正态分布的。在这个实验中，我们还可以去调整num_of_cells, num_of_balls的值，可以看出，当num_of_cells的值越大，曲线越陡峭，越小，曲线越平坦；num_of_balls的值越大，曲线就越像正态分布。说到这里可能大家就会想的到，这个实验中，num_of_cells的值可以认为就是正态分布的σ，而我们设定的随机数0，1会影响到正态分布的λ，有兴趣的朋友可以改一下上面的例程，将随机数生成改为大于0.5，或小于0.5，可以观察到最后的曲线中轴线会向左偏和向右偏。

说到这里，下面的公式应该是理所当然的了：

若一个随机变量X服从一个数学期望为λ，尺度参数为σ的概率分布，记作

说到这里，通过上面的实验大家应该大概知道高斯分布是个什么东西了。那么如何编程实现生成符合高斯分布的随机数呢？

生成高斯分布的随机数有多种方法：

(1)     Box-Muller变换算法

(2)     利用中心极限定理迭代法

(3)     Ziggurat算法

等。其中，在效率和通用性方面比较均衡的是Box-Muller算法，C++11和Python的数学库里面基本都是用的它。

它的原理是：

随机抽出从[0,1]中符合均匀分布的数a和b，然后令：

那么这两个数都是符合正态分布的。

若想产生服从期望是λ，标准差是σ的正态分布，那么：

下面，我们用C++来实现：

#include #include#include#include#include#include#include

double calc_gaussian(double sigma, doublelambda)

{static const double epsilon = std::numeric_limits::min();static const double two_pi = (2.0 * 3.14159265358979323846);static doublez1;static boolgenerate;

generate= !generate;if (!generate)return z1 * sigma +lambda;doublea, b;do{

a= rand() * (1.0 /RAND_MAX);

b= rand() * (1.0 /RAND_MAX);

}while ( a <=epsilon );doublez0;

z0= sqrt(-2.0 * log(a)) * cos(two_pi *b);

z1= sqrt(-2.0 * log(a)) * sin(two_pi *b);return z0 * sigma +lambda;

}intmain()

{int t = 10000;double lambda = 10;double sigma = 1;const int distribution = 20;double dist_cells[distribution] = {0};

srand((unsigned)time(NULL));for(int i = 0; i < t; i++)

{int n =calc_gaussian(sigma, lambda);

dist_cells[n]++;

}for(int i = 0; i < distribution; i++)

{

std::cout<< dist_cells[i] << ",";

}

std::cout<<:endl>

}

得到结果：0,0,0,0,0,0,12,190,1374,3372,3519,1325,196,12,0,0,0,0,0,0,

放入Python显示：