矩阵L2,1范数及矩阵L2,p范数的求导

1、向量范数

1-范数：，即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。

2-范数：，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。

∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。

-∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。

p-范数：，即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。

2、矩阵范数

1-范数：， 列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。

2-范数：，谱范数，即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。

∞-范数：，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。

F-范数：，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。

常见的矩阵范数有L1，L2，∞∞范数，F范数和引申出的L2,1范数。而在机器学习的特征选择中，利用选择矩阵的范数对选择矩阵进行约束，即是正则化技术，是一种稀疏学习。

L0L0，L1L1向量范数

• L0L0 范数

  L0L0 范数是指向量vv中的非0的个数，是一种度量向量稀疏性的表示方法。例如：v=[0,1,1,0,0,1]v=[0,1,1,0,0,1]，那么∥v∥0=3∥v∥0=3。

• L1L1 范数 
  L1L1 范数是向量中元素的绝对值之和，即∥v∥1=∑ni=1|vi|∥v∥1=∑i=1n|vi|，也描述了向量的稀疏性。

  
  

从图中可以看出，pp的取值在[0，1)[0，1)之间时，范数不具有凸性。在实际的优化中，是无法进行优化的，因此，一般会将L0L0范数转化为L1L1范数，或者是其他可优化的范数。

矩阵的L1L1范数

为了度量稀疏矩阵的稀疏性，则定义矩阵的一种范数，为：

即为矩阵所有元素的绝对值之和，能够描述接矩阵的稀疏性，但是在优化时，难度较大，是将情况向矩阵中元素尽可能是0的方向优化。

矩阵的L2,1L2,1范数

而为了进一步说明矩阵的稀疏性，来说明特征选择中矩阵L2,1L2,1范数的作用。

在特征选择中，通过稀疏化的特征选择矩阵来选取特征，即相当于是一种线性变换。

矩阵L2,1L2,1范数的求导

对于特征选择矩阵WW，每一行（即行向量）用向量的2-范数描述，即wi=∑j|Wi,j|2−−−−−−−−√wi=∑j|Wi,j|2。那么，描述化之后即为向量w=[w1,w2,⋯,wd]Tw=[w1,w2,⋯,wd]T，那么对整个选择矩阵WW还需要用范数对ww进行描述，因为损失函数中的正则项，或称为正则化的项是一个数，而不是一个向量。因此再用1-范数对ww描述，即是WW的L2,1L2,1范数。

这便是矩阵的L2,1L2,1范数的实际描述过程。矩阵的L2,1L2,1范数满足矩阵范数的自反性、非负性、对称性和三角不等式关系，是一个范数，这里不予证明。

那么，在线性学习模型，损失函数如：

在优化中，矩阵的范数该如何求导？关于矩阵的F范数求导，可以参考矩阵的 Frobenius 范数及其求偏导法则。而矩阵L2,1L2,1范数求导如下推导： 
首先，先证明一个向量求导的问题,其中x={x1,x2,…,xn}x={x1,x2,…,xn} , 而已知求导

那么，可得向量的求导为

而对于一个矩阵W=[w1,⋯,wd]TW=[w1,⋯,wd]T , 其中wiwi 是WW 的第ii 行。由矩阵的定义有

那么：

这即是矩阵L2,1L2,1范数的求导结果。

矩阵一般化L2,PL2,P范数的求导

而向老师就矩阵一般化L2,PL2,P范数给出了推导，如下：

 
关于矩阵的求导，是机器学习的一个数学难点，需要好好积累数学理论知识！