微分几何笔记

第20节：曲面理论的本章脉络

正则曲线(切向量不为零)>>切线>>弧长（度量）>>活动标架>>曲率挠率>>基本公式>>基本定理
典例

正则曲面>>切平面>>度量(第一基本形式)>>活动标架>>局部形状（第二基本形式）>>基本公式>>基本定理
光滑曲面（C^无穷）的

r=r(u,v)
u=u0 的u曲线 v=v0 的v曲线坐标曲线

第21，22节：切平面

过点与面相切的平面
u曲线的切向量 r’v
v曲线的切向量 r’u
称为坐标向量

坐标曲线网：u,v曲线构成
典例
：
平面：r=r0+ua+vb(a,b不平行)
球面：x^(2) + y^(2) +z^(2) = a^(2) 平角为u 立角v
r=(acosvcosu,acosvsinu,asinv) u在（0，2pi）为了保证区域（区域是开集）v在（-pi/2,p/2）

切平面:
曲面上的一般曲线u=u(t);v=v(t)

   r=r(u(t),v(t))r'=r'uu'+r'vv'（曲线的切向量可由r'u和r'v线性表示，反之如何证明：？）设ar'u+br'v在切平面，令：曲线为 u=u0+at v=v0+btr'=r'ua+r'vb 以上说明：切平面上的任意向量的却为某一曲线的切向量T=span{r'u，r'v}

定义:过点p,由r’u和r’v确定的平面记为：T
方程形式：T=ρ(a,b)=r0+ar’u+br’v

如此可将T写成：
点法式：(p-r0)chacheng n=0
切平面的单位法向量n：r’u r’v的叉乘除以内积的模
点位式：混合积为零：(p-r0，r’u,r’v)=0
混合积的几何意义: 几何上,由三个向量定义的平行六面体,其体积等于三个标量标量三重积的绝对值:
曲面方程的形式

方程的另一形式：隐函数F（x,y,z）=0
由隐函数存在性定理可知：
F’z不等于零则z可表达为xy的显式函数其他同理
法向量：▽F=（F’x,F’y,F’z）只要有一个不等于零，向量不为零
显示方程表示的函数一定是正则曲面（前提C^k）

隐函数定理
? 存在唯一性定理
? 可微性定理
说得简单一些吧，现在已经两个变量之间的一个关系：F(x,y）=0，能否确定一个函数关系，即y=f(x)？，由链式求导法则可知，对y偏导做分母应不为零。（注：需满足连续，可导等前提）

隐函数存在定理与几何解释
https://blog.51cto.com/10901086/2146928
https://zhuanlan.zhihu.com/p/70286816
https://wenku.baidu.com/view/e21b710a844769eae009edca.html

第23节

看看以上的变量（T）是否为参数不变量可定向曲面：若单位法向量眼任意曲线移动后回到原来的位置不变反例：莫比乌斯带

σ：D ----》 D~
（u,v）-》（u_,v）
满足：
σ是一一的
σ σ^{-1在D上是C}k的
雅可比行列式（叉乘结果为实数）偏导数（u,v）/偏导数（u_,v）不为零（保证正则性的）
（r’u_{）=r’u*pianu/painu}+r’vpianv/painu~
（r’v_{）=r’u*pianu/painv}+r’vpianv/painv~ 全导数https://baike.baidu.com/item/%E5%85%A8%E5%AF%BC%E6%95%B0/7146883?fr=aladdin
可得：（u~ ， v~）=雅可比矩阵（u,v）当雅可比矩阵大于零时保证变换是同向的

命题：曲面的切屏面实在参数变换（可允许的）下不变的
上边的公式已经证明了法线的方向是不变的同时切点不变显然得证

练习题4：
第一小问：不需要证明交换后仍为正交标价只需证明其为两两正交的单位向量即可

    第二小问：正交矩阵进行偶次交换得到的行列式不变（1或-1）（设A是正交矩阵，则 AA^T=E，两边取行列式得 |AA^T| = |E| = 1而 |AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = |A|^2所以 |A|^2= 1所以 |A| = 1 or -1. ）

许多计算使用基本公式能十分简化计算

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