信号与系统、数字信号处理—

数字信号处理的课程脉络：围绕数字系统的分析和设计展开，分析了数字系统的响应、IIR和FIR滤波器的设计。

从分析方法的角度来看，可以分为时域分析和变换域分析。时域分析主要是用线性卷积来求解系统的零状态响应；变换域主要用z变换求响应，用零极点图、收敛域等工具判断系统的特性。用傅里叶变换分析系统滤波特性、用DFT分析有限长序列、为了减小DFT的运算量提出FFT。
信号在时域和频域的对偶关系：连续——非周期、离散——周期。

信号与系统Q&A

为什么要引入拉普拉斯变换？
拉式变换的引入是因为指数增长信号的傅里叶级数不存在。由于指数增长信号不收敛，我们把它和收敛因子ⅇ^(−σt) 相乘，用s控制衰减。这使得拉式变换相较于傅式变换研究信号范围变大了。

时域

卷积convolution
什么是卷积？
卷积的本质就是加权求和，它可以联系时域和频域。
引入卷积运算有什么意义？
在对系统进行分析时，系统的传递函数和输入信号进行卷积就得到了输出信号。而我们知道卷积的本质是加权求和，那么输出信号实际上就是把输入信号进入系统后不同时间点的响应进行叠加。
卷积的应用？
1.应用于图像处理；2.卷积定理可以简化运算，比如FFT的使用。
卷积和如何计算？
对位相乘相加法。卷积后序列的长度：N+M-1

序列的周期性：2π/ω是有理数时，正弦序列Asin(ωn+φ)是周期序列。

变换域（z变换）

关于ROC：圆内/圆环/圆外。对于有限长序列一般是全域，严格来讲要讨论0点和无穷远点。ROC内一定不包含极点。

因果性：先有输入后有输出；LSI系统因果的充要条件是h(n)是因果序列；收敛域在圆外。
稳定性：有界输入有界输出；LSI系统稳定的充要条件是h(n)绝对可和；收敛域包含单位圆。

为什么幅频特性能用来判断滤波器类型？

傅里叶变换以2π为周期。那么中间（π）就是变化最快的点，即高频；两端（0和2π）是变化最慢的点，即低频。所以只需要画出0到π上的幅频特性图，就足以看出系统的滤波类型。

关于DTFT

DTFT即对序列做傅里叶变换。
DTFT是其原连续时间信号的傅里叶变换的周期延拓。
DTFT是序列在单位圆上的z变换。

关于DFT

为什么要引入DFT呢？
在进行了DTFT后人们发现，离散时间的傅里叶变换仍然是连续谱。为了在频域得到离散信号以便于计算机分析，人们对DTFT进行采样，得到了DFT。

DTFT和DFT的关系：离散傅里叶变换DFT是离散时间傅里叶变换DTFT在(0,2π)上的N点等间隔采样。
DFT和DFS的关系：DFT是DFS的主值序列；DFS是DFT以N为周期的周期延拓序列。
DFT和z变换的关系：DFT是z变换在单位圆上的N点等间隔采样。
DFT是有限长序列的傅里叶变换。

DFT的圆周移位性质：如果序列x(n)发生m点圆周移位，移位后序列的DFT是原序列的DFT乘WN−mkW_{N}^{-m k}WN−mk

DFT的误差：

混叠失真：采样频率不够，导致不满足采样定理，出现混叠。解决方法：抽样之前先将信号通过一个低通滤波器，滤除高频部分。
频谱泄露：由于加窗函数造成很多旁瓣的产生，从而产生谱间干扰。解决方法：选择合适的（缓变型的）窗函数、或者加大窗的宽度。
栅栏效应：对频谱进行采样时，只能看到各采样点上的频谱，而可能会有重要的峰值没有被采到，就像是隔着栅栏一样。解决方法：增加抽样点数、或尾部补零以增加数据长度。

DFT 的性质：线性、圆周移位、圆周卷积、共轭对称

什么是圆周卷积？
圆周卷积相当于周期延拓后的序列做周期卷积后再取主值区间。
什么是周期卷积？
周期卷积就是两个周期序列的卷积，具体计算和线性卷积相同。

在什么条件下圆周卷积的结果和线性卷积相同？
设两序列的长度为M、N，在序列后补零到L=M+N-1，进行L点圆周卷积，结果就与线性卷积相同。
or to say, 圆周卷积的长度≥线性卷积的长度时，圆周卷积即和线性卷积相同。

关于FFT

FFT的算法原理：①基于时间：按序列在时间上的次序是奇数还是偶数分解为两个更短的子序列。
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按时间抽选的基-2FFT算法流图特点：①输入是码位序倒置排列、输出是自然顺序；②基本计算单元是蝶形计算
FFT的运算量：

IIR滤波器与FIR滤波器设计

IIR与FIR的区别：
IIR是无限长单位冲激响应，有极点，有递归结构；
FIR是有限长单位冲激响应，没有极点，一般没有递归结构，除非采用零极点相互抵消的方式。

模拟信号数字化的过程：1.通过滤波器滤除高频部分；2.A/D转换；3.数字信号处理；4.D/A转换；5.通过滤波器平滑信号

窗函数法设计FIR滤波器：要求窗函数频谱的主瓣尽可能高、窄，旁瓣尽可能短小，但这两个要求不能同时满足，因为主瓣升高旁瓣也会升高，因此只能折中。

双线性法设计IIR滤波器的步骤：1.确定滤波器参数；2，数字滤波器参数换成模拟滤波器参数；3.设计模拟低通滤波器；4.转化为数字低通滤波器。

全通系统：

采样定理

采样频率：单位时间（一般一秒）内的采样点数

带宽：指的是信号的主体占据的频率范围

频率分辨率：分辨两个不同频率信号的最小间隔f_{0} =\frac{1}{T} ,所以信号越长，分辨率越好，T就是采样前模拟信号的时间长度

根据采样定理，最低的采样频率必须是信号频率的两倍；也就是说如果给定了采样频率，则信号频率是采样频率的一半，这时称这个信号频率为奈奎斯特频率。如果信号频率超过了奈奎斯特频率，就会发生畸变。比如，风扇在转速较高的时候，人眼看来会出现倒转的情况，这就是因为风扇的转动频率超过了人眼的采样频率，出现了频谱混叠。

并不是采样点数越多，分辨率就越高，因为T是确定的。只有增加点数的同时增加长度，才能提高分辨率。要注意在DFT补零的过程中是没有增加有效数据的长度的。

带通采样定理：带通信号的频谱处在某个频段之内，而不是在零频附近。并且通频带的中心频率一般都远大于带宽。如果按照采样定理采样，采样频率就会变得无意义得高。为了减少采样频率，提出带通采样定理如下：当信号的最高频率是带宽的整数倍时，取采样频率为2倍带宽即fs=2Δf0f_{s} =2\Delta f_{0} fs=2Δf0若最高频率不是带宽的整数倍，就将通带延伸一段使它变成整数倍。则抽样频率的取值范围为2Δf0≤fs<4Δf02\Delta f_{0}\leq f_{s}<4\Delta f_{0} 2Δf0≤fs<4Δf0

其他常见问题

在AD转换前、DA转换后要通过低通滤波器的作用分别是什么？
A\D转换前通过低通滤波器，是为了限制信号的最高频率以满足采样定理。D\A转换后通过低通滤波器是为了滤除高频延拓，让抽样保持的阶梯型输出平滑化。

什么是吉布斯现象？
在对有间断点的周期函数进行傅里叶展开时，将有限项进行合成。当参与合成的项数越多，合成后的波的峰起就越靠近间断点。当项数足够多时，这个峰起值会趋于总跳变值的9%