对数（log）的换算公式

对数公式的换算，对于算法复杂度的推导非常重要。但是我总忘，这次特地总结一下常用的对数公式，以备后用。

名称	公式
和差	log⁡αMN=log⁡αM+logαN\log_\alpha MN=\log_\alpha M+log_\alpha NlogαMN=logαM+logαN
换底公式	log⁡αx=log⁡βxlog⁡βα\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}logαx=logβαlogβx
次方公式	log⁡anxm=mnlog⁡ax\log_{a^n}x^m=\frac{m}{n}\log_axloganxm=nmlogax
互换	Mlog⁡aN=Nlog⁡aMM^{\log_aN}=N^{\log_aM}MlogaN=NlogaM
倒数	log⁡ab=ln⁡bln⁡a=1log⁡ba\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{1}{\log_ba}logab=lnalnb=logba1
链式	log⁡γβlog⁡βα=ln⁡βln⁡γln⁡αln⁡β=ln⁡αln⁡γ=log⁡γα\log_\gamma \beta\log_\beta\alpha=\frac{\ln \beta}{\ln \gamma}\frac{\ln \alpha}{\ln \beta}=\frac{\ln \alpha}{\ln \gamma}=\log_\gamma\alphalogγβlogβα=lnγlnβlnβlnα=lnγlnα=logγα
还原	αlog⁡αx=x=log⁡ααx\alpha^{\log_\alpha x}=x=\log_\alpha \alpha^xαlogαx=x=logααx

注：公式总结自维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0。

基底是eee还是2的问题

在一些计算机相关的领域，书写log⁡\loglog函数时经常会省略基底（base），例如时间复杂度O(log⁡N)O(\log N)O(logN)，或者在机器学习领域用来做多分类的交叉熵损失函数：Lce(x,y)=−∑c=1Myo,clog⁡(po,c)L_{ce}(x,y)=-\sum^M_{c=1}y_{o,c}\log(p_{o,c})Lce(x,y)=−∑c=1Myo,clog(po,c)，这个时候我们会想知道这些log⁡\loglog函数的基底到底是数学常数eee还是2？

一般情况下，算法复杂度和信息论领域（例如交叉熵）的log⁡\loglog计算都是以2为底，但也有少部分以eee为底的情况。其实我们对log⁡\loglog的基底无需过分担心，因为以eee为底得出的结果与以2为底得出的结果比值是个常数，使用换底公式即可求得：
log⁡eNlog⁡2N=log⁡kNlog⁡ke/log⁡kNlog⁡k2=log⁡k2log⁡ke=log⁡e2.\frac{\log_eN}{\log_2N}=\frac{\log_kN}{\log_ke}/\frac{\log_kN}{\log_k2}=\frac{\log_k2}{\log_ke}=\log_e2. log2NlogeN=logkelogkN/logk2logkN=logkelogk2=loge2.
因此，我们不应该过分关注log⁡\loglog函数的基底是eee还是2的问题，它们计算结果的比值总是一个常数，采用任何一个基底都不会对要解决的问题本身产生影响。

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