OpenJudge NOI 1.13 19:啤酒厂选址

【题目链接】

【题目考点】

1. 枚举

【解题思路】

一个有n个数字的环，顺时针标号从0到n-1，顺时针取下一个数字的方法为i = (i+1)%n，逆时针取下一个数字的方法为i = (i-1+n)%n。

解法1：枚举

枚举，i从1循环到n，在第i个居民点建厂，求在这里建厂时从这里到所有其它居民点运送啤酒的费用加和。
从i的顺时针下一个居民点开始，环形遍历每个居民点j，记录从第i居民点顺时针到第j居民点的路程为s，环岛总路程为s_tot，那么s_tot-s就是逆时针走到第j居民点的路程。比较s与s_tot-s，二者较小值即为从i到j的最短路程距离，距离乘以这里的啤酒需求量，即为费用。
到每个居民点的费用加和，即为在第i居民点建酒厂的总费用。
求出在每个居民点建酒厂产生的费用，求最小值。
该方法复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

解法2：双指针

以下叙述中，i顺时针下一个数字记为i+1，逆时针下一个数字记为i-1。
d[i]表示第i居民点到第i+1居民点的距离。
假设在居民点i建酒厂，记第j居民点是最后一个从i出发顺时针走更近的居民点，即从i出发到所有i+1~j的居民点，都是顺时针走更近。从i出发到所有j+1~i-1的居民点，都是逆时针走更近。
这里的双指针指的就是酒厂地址i与最后一个从i出发顺时针走更近的居民点j。每次让i取顺时针的下一个位置，根据j的定义调整j的位置。
同时调整顺时针能走到的最远距离sr，逆时针能走的最远距离sl，顺时针到达的居民点需要的啤酒总数量br，逆时针到的居民点需要的啤酒总数量bl，以及总费用pr。
首先求出在第0位置建酒厂时，j, sr, sl, br, bl, pr各项的数值。

k从1顺时针遍历，sr不断增大，直到如果顺时针到k的距离sr+d[k-1]大于逆时针到k的距离s_tot-sr-d[k-1]，那么就应该逆时针到k，j应该取k-1。同时更新br，pr。
再从n-1开始逆时针遍历到j+1，sl不断增大。同时更新bl，pr。

建酒厂的位置从1遍历到n-1，当建厂位置变为顺时针的下一个位置后，

如果酒厂在i-1位置时对所有的居民点都是逆时针走到的，那么满足 j = i − 1 j = i-1 j=i−1。酒厂移动到第i位置后，逆时针到达的居民点减少了第i居民点，增加了第i-1居民点。
除了以上情况，酒厂移动到第i位置后，顺时针到达的居民点减少了第i居民点，逆时针到达的居民点增加了第i-1居民点。

根据不同情况调整sr, sl, br, bl, pr。

此时i已经增加了1，看i到哪些定居点的行进方向发生了变化，也就是看j的变化。
j变为顺时针的下一个，看当前第i居民点到第j居民点是顺时针走更近还是逆时针走更近。

如果是顺时针走更近，那么总费用减少了从i-1逆时针走送啤酒到j的费用，增加了从i顺时针走送啤酒到j的费用。而后让j增加1，再看到下一个居民点是否需要变换行进方向。
如果到第j居民点是逆时针走更近，那么让j回到上一个位置，始终让j表示最后一个从i出发顺时针走更近的居民点，结束循环。
以上过程进行中，需要不断调整sr, sl, br, bl, pr的值。

求出在第i位置建酒厂的总费用pr后，与已知的最小总费用左比较，求出费用的最小值。
该方法复杂度 O ( n ) O(n) O(n)

【题解代码】

解法1：枚举复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 10005
int main()
{int s_tot = 0, n, a[N], d[N], mn = INF, mi = 0;//tot:环岛总长，a[i]：第i居民点啤酒需求量，d[i]为i到i+1位置的举例,p[i]在第i位置建厂每天运啤酒的费用， c单位费用scanf("%d", &n);for(int i = 0; i < n; ++i){scanf("%d %d", &a[i], &d[i]);s_tot += d[i];}for(int i = 0; i < n; ++i)//遍历居住点{int f = 0, s = 0, sd;//f:总费用 j：当前看的居住点 s:累积距离 sd:从j到i的最短距离for(int j = (i+1)%n; j != i; j = (j+1) % n)//从i的下一个居住点开始，环形遍历每个居住点 {s += d[(j-1+n)%n];sd = s_tot - s < s ? s_tot - s : s;f += sd * a[j];}if(f < mn){mn = f;mi = i;}}printf("%d,%d", mi, mn);return 0;
}

解法2：双指针复杂度： O ( n ) O(n) O(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10005
int main()
{int s_tot = 0, n, b[N], d[N];//b[i]:第i居民点的啤酒需求量 d[i]:第i居民点到第i+1居民点的距离 scanf("%d", &n);for(int k = 0; k < n; ++k){scanf("%d %d", &b[k], &d[k]);s_tot += d[k];//s_tot:环总长}int i = 0, j = n-1;//i:在第i位置建厂 j:从酒厂顺时针走到达更近的最后一个居民点，从酒厂到(j+1)%n居民点就是逆时针走更近。如果下面循环结束也没有设j，那么所有顶点都是通过顺时针走到的，j应该为n-1 int bl = 0, br = 0;//br：顺时针走到的居民点的啤酒需求量 bl：逆时针走到的居民点的啤酒需求量 int sl = 0,  sr = 0;//sr:从i开始顺时针走过的距离  sl:从i开始逆时针走过的距离 int pr = 0;//总费用for(int k = 1; k < n; k++){if(sr + d[k-1] <= s_tot - sr - d[k-1])//如果从i顺时针走到k的距离小于等于逆时针走到k的距离 {sr += d[k-1];br += b[k];//顺时针走到的居民点的啤酒需求量增加 pr += sr * b[k];//费用增加 }else{j = k-1;//取前一个位置 为顺时针能走到的最后一个位置 break;}}for(int k = n-1; k != j; k--)//从i的前一个开始逆时针遍历直到j{sl += d[k];//逆时针走的距离 pr += sl * b[k];//此时sl为逆时针走到k的距离 bl += b[k];}int mnp = pr, mni = 0;//此时pr为在第0居民点建厂的总费用。mnp：费用最小值 mni：使得费用最小的啤酒厂位置 for(i = 1; i <= n-1; ++i)//酒厂从i-1移动到i{ if(j == (i-1)%n)//在i-1时，如果所有位置都要逆时针走到，j等于i逆时针的下一个。 {//酒厂移动到第i位置后，逆时针到达的居民点减少了第i居民点，增加了第i-1居民点。j = i;bl = bl - b[i] + b[i-1];pr += bl * d[i-1] - b[i] * sl;//bl的啤酒需求运送距离增加d[i-1]。向第i居民点原来需要逆时针走sl送啤酒，现在不用送了。 sl += d[i-1] - d[i];}else{//酒厂移动到第i位置后，顺时针到达的居民点减少了第i居民点，逆时针到达的居民点增加了第i-1居民点。sr -= d[i-1];sl += d[i-1];bl += b[i-1];pr += (bl - br) * d[i-1];//顺时针移动一个位置后，对于br的啤酒需求，距离变短，对于bl的啤酒需求，距离变长。 br -= b[i];}while(sr + d[j] < s_tot - sr - d[j])//如果到第j居民点顺时针走距离更短 {sr += d[j];j = (j + 1) % n;bl -= b[j];//到第j居民点从逆时针走到变为顺时针走到br += b[j];pr += (sr - sl) * b[j];//此时sl为i逆时针到j的距离，sr为i顺时针到j的距离 sl -= d[j];}if(pr < mnp){mnp = pr;mni = i;}}printf("%d,%d", mni, mnp); return 0;
}

【测试数据】

亲测解法2确实降低了复杂度，这里给一个生成数据的程序。由于数据太大会让结果超出int范围，这里人为缩小了数据的范围（每个居民点啤酒需求小于等于200，两个居民点间的距离小于等于10）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{srand(time(NULL));freopen("test.txt", "w", stdout);int n = 10000;cout << n << endl;for(int i = 1; i <= n; ++i){int a = rand()%200+1, b = rand()%10+1;cout << a << ' ' << b << endl; }fclose(stdout);return 0;
}

生成了一组n为10000的数据进行测试，解法1的代码需要运行1s以上，而解法2的代码总能在1s内完成。
本题正解应该是复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)的解法2。由于OJ数据较水，因此复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的解法1也能过。