SIR疾病传播模型的简单数学原理

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在流行疾病传播领域有一个经典的简单模型， SIR, 或者 Susceptible Infected Recovered Model。当然这个模型可以运用各种类似的信息传播领域，比如新闻舆情传播领域。

这个模型其实非常简单，易于理解。我们用这样一个场景来说明：

假设池子里面有一堆海洋球（或者台球），球的正常颜色都是白色，假设数量为100万个。某一天，有10个球不小心掉进了颜料缸，变成了红色。虽然马上擦拭一下了一下，只有5个球的颜色被复原，还是有5个球的颜色为红色。这个场景可以理解为疾病流行的初始状况。总人口有S=100万，一开始10个人生病，其中R=5个人很快恢复。还有I=5个人一开始没有马上康复，并且具有传染性。

疾病的传播在于人和人之间有接触，有相互作用，是一个复杂的网络传播行为。要想很好的用数学方式去模拟不是一个容易的事情。但是在SIR模型，这个相互作用可以大大简化。

我们可以把传播方式想象成为成千上万的海洋球的随机碰撞，这个碰撞按天来看，每天都会有这样的碰撞。任何一个白球和任何一个涂了红色颜料的红球碰撞之后，有一个概率，白色的球也会染成红色，从而变成红球和具有传染性。可以想象一下，第一天，S=100万白球和I=5个红球，总共有5x100万=500万次潜在的碰撞。假设每一次碰撞被染色的概率是 β，那么500万碰撞后会有500β万个白球被马上染成红色。从而正常的白色球数量会减少，变成：

其中 S0 为初始的正常颜色白球， I0为红色的具有传染性的红球，β为每一个红球和每一个白球碰撞后，白球被着色的评价概率。

另一方面，因为疾病的治愈率，红色的球也可以逐渐自己掉色，重新变成白球，便不再具有传染性。假设每一红球的治愈率是 γ，那么同样在第一天，除了一开始很快自愈的5个红球，另外5个红色的球变成白色的球的个数为 5γ, 那么总的红球恢复个数为:

其中，R0为初始状态已经恢复颜色的红球，I0为第一天开始时候仍然为红色的具有传染性的红球。

上面第一天的碰撞中，我们已经知道了总的白色球被感染的数量，也算出了当天能够恢复自愈的红球，那么第一天结束时候，到底最终剩下多少个具有传染性的红球呢？这个数量其实是我们最关心的。可以理解，就像一个池子上面进水，下面放水一样。池子总的水量取决于新增的红球数量减去恢复的红球数量：

以此类推，用递归的方式，我们可以算出第二天以后的任何第n天的几个数字：即 Rn （正常白球，可能被感染数量）， In (具有传播性的红球数量) 和 Rn(已经恢复颜色白球，治愈者)。这个三个数字的和是一定的，它等于所有球的数量。但是这个几个数字此消彼长，随着疾病传播，一开始红球数量会不断增加，但是被治愈者也会不断增加。超过某个零界点，红球数量最终趋于0.

这个经典的SIR模型，也就是日前德国哥廷根教授用来判断此次疾病爆发的预测模型。他根据之前SARS模型的参数，β= 0.2586/1000000， γ=0.0821 ，即每100万次红球和白球接触后，感染概率大概26%，每一红球每天治愈概率大概8%。根据教授给的参数，我们可以绘制未来150天几个数量的变化情况如下：

上图中横坐标为天数，纵坐标为各个指标数量。其中红色曲线为每天实际感染者数量。可以发现，运用经典的SIR模型，高峰大概在80天左右。

上面即为SRI模型的数学原理，我们可以发现，其实原理是比较简单的。当然实际传播情况和人为干预和预防都是很有关系的。更加复杂的网络模型可以改善预测效果。

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