矩阵的定义及其相关运算
在将矩阵之前,我们先讲一讲‘标量’,‘向量’,‘矩阵’。
标量(scaler)在机器学习中就是一个简单的数字,eg.1,2,3....
矩阵(matrix)
定义:一个按照长方阵列排列的 复数 或 实数 集合(我们目前先只讨论实数的情况)。
一个2*3的矩阵表示一个框框,有2行3列,一共有6个数字,这个框框里的六个数字可以随便填,可以是正数,可以是负数,这里我们不妨举例子为,同理一个a*b的矩阵表示有a行b列,一共有a*b个元素(其中a和b都是正整数,a和b之间没有数量关系,当然,a和b可以相等,a=b时我们把它叫做方阵)
当b=1时矩阵就变成了一个向量(vector),即a*1,即向量是矩阵的一种特殊的形式,eg,就表示一个向量,因为一共有四个元素,我们也将它称为‘四维向量’
矩阵运算
一、矩阵和实数之间的运算
1.矩阵和实数的乘法
* 2 =,即用矩阵中的对应元素依次和实数相乘,我们上面说过,标量表示为1,2,3等等数字,即这里乘法中的2也可以表示为标量,即标量和矩阵之间可以相乘。
矩阵和实数之间的相乘符合交换律,即 *2 = 2 *
2.矩阵和实数之间的除法
/ 2 =,我们知道除法是乘法的逆运算,则除法的步骤和上方所述步骤一样,这里注意!!!!矩阵在出发运算中只能做被除数,不能做除数即/ 2 是正确的,2/是错误的,我们计算不出结果。
####上面我们说过向量是特殊的矩阵,则满足矩阵的运算对向量也适用####
3.矩阵和实数之间没有加减法
二、矩阵和矩阵之间的运算
1.矩阵和矩阵之间的加法
某个矩阵的形式为,另一个矩阵的形式为,只有当两个矩阵的形式完全一样的时候才可以相乘,即时两矩阵才能进行乘法。我们举一个例子!
+ = ,即数组每一个位置上的数字对应相加
2.矩阵与矩阵之间的减法
矩阵之间的减法运算同样也要满足的条件,我们还是举个例子
- = ,同样对应位置上的数据进行相减。
###这里我们可以做一个小总结,‘矩阵和实数的乘法’和‘矩阵和矩阵之间的运算’所得到的最终的矩阵的形式和原矩阵一样,a和b都不会改变,同样,向量也满足以上的规则
3.矩阵和矩阵之间的乘法
某个矩阵的形式为,另一个矩阵的形式为,只有当或时才可以进行乘法,当然这两个条件也可以满足一个,也可以两个都满足。
我们先讨论只满足一个条件时的情况
###1.或时
这两种情况一样,我们不妨只讨论的情况
我们这里先给出结论()*()=()
即在的前提下,一个行列的矩阵和一个行列的矩阵相乘后,我们会得到一个行列的矩阵。
我们还是举一个例子(3*4)*(4*2)=(3*2)我们最终会得到一个3*2的矩阵
* = (这里自己看看作者的运算过程吧,作者实在不知道怎么用语言来表达,则就是人们所说的‘只能意会,不能言传’吧)
7*1+4*3+8*6+4*7=95
7*2+4*4+8*5+4*8=102
6*1+5*3+4*6+6*7=87
6*2+5*4+4*5+6*8=100
2*1+9*3+2*6+1*7=48
2*2+9*4+2*5+1*8=58
###2.时,这里的运算和上面第一种情况一样,但是有一点需要注意
我们举一个例子
(3*2)*(2*3)=(3*3)和(2*3)*(3*2)=(2*2),这个是两种结果,第一种我们得到的是一个(3*3)的数组,第二种情况下我们得到的是一个(2*2)的数组,相乘的两个数组交换位置后,得出的结果是一样的。
###3.最特殊的一种情况===时
我们还是举一个例子
* =
1*5+2*7=19
1*6+2*8=22
3*5+4*7=43
3*6+4*8=50
我们交换位置后
* =
5*1+6*3=23
5*2+6*4=34
7*1+8*3=31
7*2+8*4=46
这里我们可以看出, ===时,相乘的两个矩阵交换位置后,虽然都得到一个2*2的矩阵,但是矩阵中的元素都是不同的,这里我们要注意,家人们。
三、矩阵的逆运算
在讲矩阵的逆运算之前,我们先讲一些特殊的矩阵
eg. 就是一个对角矩阵,而不是一个对角矩阵,就是一个单位矩阵
(建议读者先理解‘主对角线’的意思)
前面我们讲了若一个矩阵 = 则我们把它称为一个方阵,只有方阵才可以进行逆运算
我们不妨给这个方阵取一个名字称为A,这个方阵有一个逆矩阵我们把它写作,方阵A和它的逆矩阵满足A*=B,而这个矩阵B是一个单位矩阵,同时矩阵A和它的逆矩阵满足乘法交换律,即A*=*A=B(单位矩阵)
这里我们要注意一下,矩阵A和以及B它们的形式是一样的,若一个为2*2,则三个都为2*2
但并不是所有的方阵都有逆矩阵,eg该矩阵没有逆矩阵。而这种没有逆矩阵的矩阵我们把它叫做‘奇异矩阵’或‘退化矩阵’
四、矩阵的转置运算
我们已知一个矩阵A=,我们求它的转置矩阵=,如图我们把第一个矩阵的行,当作第二个矩阵的列,家人们看例子也应该能很容易理解。
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