数学建模：14 时间序列
目录
步骤
基本概念
时间序列分解
叠加 / 乘积模型
使用SPSS的实例
步骤
指数平滑模型
Simple模型
线性趋势模型
布朗线性趋势模型
阻尼趋势模型
简单季节性
温特加法模型
温特乘法模型
一元时间序列分析的模型
基础概念
平稳时间序列、白噪声序列
差分方程及其特征方程
滞后算子
AR(p)模型(auto regressive) 自回归
特征方程判断平稳性
计算的例子
MA(q)模型(moving average)
MA模型和AR模型的关系
ARMA(p,q)模型
选择p、q的方法
ACF自相关系数、PACF偏自相关系数
AIC、BIC准则
检验模型是否识别完全
ARIMA(p,d,q)模型 差分
SARIMA(Seasonal ARIMA)模型
SPSS实例及论文内容
附录
步骤
- 数据预处理：SPSS填补缺失值；生成时间变量、画出时间序列图
- 观察时间序列图，判断有没有季节性波动、且是季度或月度数据
- 季节性规律 + 季节性波动恒定：季节性分解的加法模型
- 季节性规律 + 季节性波动随时间有变化（如递增）：乘法模型
- 数据围绕均值上下波动，无趋势、季节性：数据是平稳序列
- 用SPSS专家建模得出最佳模型
- 结果是 ARIMA(p,0,q) 模型，画出时间序列的样本 ACF 和 PACF 图形进行分析；
- 是 ARIMA(p,1,q) 模型，先对数据进行 1 阶差分后，再用 ACF 和 PACF 图形分析；
- 结果与季节性相关（如温特加法乘法模型、SARIMA），用时间序列分解
基本概念
时间序列：也称动态序列，是指将某种现象的指标数值按照时间顺序排列而成的数值序列
组成要素：
- 时间要素：年、季度、月、周、日、小时、分钟、秒
- 数值要素
时点序列：数值要素反映现象在一定时点上的瞬间水平
时期序列：数值要素反映现象在一定时期内发展的结果
时期序列可加、时点序列不可加
时间序列分解
分解为：
- 长期趋势 (Secular trend, T)
- 季节趋势(Seasonal Variation, S) ：一般以月、季、周为时间单位，不能以年作单位
- 循环变动( CyclicalVariation, C) ：以年为周期
- 不规则变动( IrregularVariation, I) ：白噪声 / 扰动项
叠加 / 乘积模型
叠加：数据的因变量/指标数值的最终变动 Y = T+S+C+I
乘积：Y = T×S×C×I
使用时间序列分解为上述模型的条件：
- 数据有年内的周期性，如月份/季度，年份数据就不行
- 在时间序列图上随时间推移，波动越来越大 --- 乘积模型；波动恒定 --- 叠加模型；不存在季节波动 --- 两个都可
使用SPSS的实例
首先处理时间序列中的缺失值：缺失值在首尾，直接删除数据；在中部则不能删除，要替换缺失值
上图中替换缺失值的方法：
- 序列平均值：整个序列的平均数
- 临近点的平均数：相邻若干个点的平均数（默认2个点）
- 临近点的中位数
- 线性插值：相邻的两个点的平均数
- 邻近点的线性趋势：将时期作为x 时间序列值作为y进行回归
定义时间变量：
画出时间序列图，看用叠加 or 乘积模型，并对图做解释：有季节周期性，波动不大 - 叠加；季节周期性，波动大 - 乘积
进行季节性分解（即把 Y 分解为 T、S、C、I）
解读结果：季节因子的正负，如果是乘积模型则是倍数关系
画出分解后的序列图：
步骤
时间序列分解用于预测未来
指数平滑模型
| 名称 | 适用条件 | 与之类似的ARIMA模型 |
| 简单指数平滑法（Simple模型） | 不含趋势T、不含季节S成分 | ARIMA（0,1,1） |
|
线性趋势模型(linear trend)
|
线性趋势、不含季节 |
ARIMA （ 0,2,2 ）
|
|
阻尼趋势模型(Damped trend)
|
线性趋势逐渐减弱、不含季节成分
|
ARIMA （ 1,1,2 ）
|
|
简单季节性(Simple seasonal)
|
含有稳定的季节成分、不含趋势
|
|
|
温特加法模型(Winters' additive)
|
含有线性趋势和稳定的季节成分
|
|
|
温特乘法模型(Winters' multiplicative)
|
含有线性趋势和不稳定的季节成分
|
不存在 |
Simple模型
| 简单指数平滑法（Simple模型） | 不含趋势T、季节S成分 | ARIMA（0,1,1） |
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