图的基本概念

图（Graph）是一种复杂的非线性结构，在图结构中，每个元素都可以有零个或多个前驱，也可以有零个或多个后继，也就是说，元素之间的关系是任意的。

常用术语：

术语	含义
顶点	图中的某个结点
边	顶点之间连线
相邻顶点	由同一条边连接在一起的顶点
度	一个顶点的相邻顶点个数
简单路径	由一个顶点到另一个顶点的路线，且没有重复经过顶点
回路	出发点和结束点都是同一个顶点
无向图	图中所有的边都没有方向
有向图	图中所有的边都有方向
无权图	图中的边没有权重值
有权图	图中的边带有一定的权重值

图的结构很简单，就是由顶点 V 集和边 E 集构成，因此图可以表示成 G = (V,E)

无向图：

若顶点 Vi 到 Vj 之间的边没有方向，则称这条边为无向边 (Edge) ，用无序偶对 (Vi，Vj) 来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图 (Undirected graphs)。

如：下图就是一个无向图，由于是无方向的，连接顶点 A 与 D 的边，可以表示无序队列（A，D），也可以写成（D，A）,但不能重复。顶点集合 V = {A,B,C,D}；边集合 E = {(A,B),(A,D),(A,C)(B,C),(C,D),}

有向图：

用有序偶<Vi，Vj>来表示，Vi 称为弧尾 (Tail) ， Vj称为弧头 (Head)。 如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图 (Directed grahs)。

如：下图就是一个有向图。连接顶点 A 到 D 的有向边就是弧，A是弧尾，D 是弧头， <A, D>表示弧，注意不能写成<D,A>。其中顶点集合 V = { A,B,C,D}；弧集合 E = {<A,D>,<B,A>,<B,C>,<C,A>}

注意：无向边用小括号 “()” 表示，而有向边则是用尖括号"<>"表示

有权图：

有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权 (Weight) 。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网 (Network)。

如下图

图的存储结构及实现

图结构的常见的两个存储方式：邻接矩阵、邻接表

邻接矩阵

图中的 0 表示该顶点无法通向另一个顶点，相反 1 就表示该顶点能通向另一个顶点

先来看第一行，该行对应的是顶点A，那我们就拿顶点A与其它点一一对应，发现顶点A除了不能通向顶点D和自身，可以通向其它任何一个的顶点

因为该图为无向图，因此顶点A如果能通向另一个顶点，那么这个顶点也一定能通向顶点A，所以这个顶点对应顶点A的也应该是 1

虽然我们确实用邻接矩阵表示了图结构，但是它有一个致命的缺点，那就是矩阵中存在着大量的 0，这在程序中会占据大量的内存。此时我们思考一下，0 就是表示没有，没有为什么还要写，所以我们来看一下第二种表示图结构的方法，它就很好的解决了邻接矩阵的缺陷

代码实现：

顶点类

public class Vertex {private String value;public Vertex(String value) {this.value = value;}public String getValue() {return value;}public void setValue(String value) {this.value = value;}@Overridepublic String toString() {return value;}
}

图类

public class Graph {private Vertex[] vertex; //顶点数组private int currentSize; //默认顶点位置public int[][] adjMat; //邻接表public Graph(int size) {vertex = new Vertex[size];adjMat = new int[size][size];}//向图中加入顶点public void addVertex(Vertex v) {vertex[currentSize++] = v;}//添加边public void addEdge(String v1, String v2) {//找出两个点的下标int index1 = 0;for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {if (vertex[i].getValue().equals(v1)) {index1 = i;break;}}int index2 = 0;for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {if (vertex[i].getValue().equals(v2)) {index2 = i;break;}}//表示两个点互通adjMat[index1][index2] = 1;adjMat[index2][index1] = 1;}
}

测试类

public class Demo {public static void main(String[] args) {Vertex v1 = new Vertex("A");Vertex v2 = new Vertex("B");Vertex v3 = new Vertex("C");Vertex v4 = new Vertex("D");Vertex v5 = new Vertex("E");Graph g = new Graph(5);g.addVertex(v1);g.addVertex(v2);g.addVertex(v3);g.addVertex(v4);g.addVertex(v5);//增加边g.addEdge("A", "B");g.addEdge("A", "C");g.addEdge("A", "E");g.addEdge("C", "E");g.addEdge("C", "D");for (int[] a : g.adjMat) {System.out.println(Arrays.toString(a));}}
}

结果值

[0, 1, 1, 0, 1]
[1, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 1, 1]
[0, 0, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 0, 0]

邻接表

邻接表 是由每个顶点以及它的相邻顶点组成的

如上图：图中最左侧红色的表示各个顶点，它们对应的那一行存储着与它相关联的顶点

顶点A 与顶点B 、顶点C 、顶点E 相关联
顶点B 与顶点A 相关联
顶点C 与顶点A 、顶点D 、顶点E 相关联
顶点D 与顶点C 相关联
顶点E 与顶点A 、顶点C 相关联

图的遍历方式及实现

从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历

在图结构中，存在着两种遍历搜索的方式，分别是 广度优先搜索 和 深度优先搜索

广度优先搜索

广度优先遍历（BFS）：类似于图的层次遍历，它的基本思想是：首先访问起始顶点v，然后选取v的所有邻接点进行访问，再依次对v的邻接点相邻接的所有点进行访问，以此类推，直到所有顶点都被访问过为止

BFS和树的层次遍历一样，采取队列实现，这里添加一个标记数组，用来标记遍历过的顶点

执行步骤：

1、先把 A 压入队列，然后做出队操作，A 出队
2、把 A 直接相关的顶点，B、F 做入队操作
3、B 做出队操作，B 相关的点 C、I、G 做入队操作
4、F 做出队操作，F 相关的点 E 做入队操作
5、C 做出队操作，C 相关的点 D 做入队操作
6、I 做出队操作（I 相关的点B、C、D 都已经做过入队操作了，不能重复入队）
7、G 做出队操作，G 相关的点 H 做入队操作
8、E 做出队操作…
9、D 做出队操作…
10、H 做出队操作，没有元素了

代码实现：

深度优先搜索

深度优先遍历（DFS）：从一个顶点开始，沿着一条路径一直搜索，直到到达该路径的最后一个结点，然后回退到之前经过但未搜索过的路径继续搜索，直到所有路径和结点都被搜索完毕

DFS与二叉树的先序遍历类似，可以采用递归或者栈的方式实现

执行步骤：

1、从 1 出发，路径为：1 -> 2 -> 3 -> 6 -> 9 -> 8 -> 5 -> 4
2、当搜索到 4 时，相邻没有发现未被访问的点，此时我们要往后倒退，找寻别的没搜索过的路径
3、退回到 5 ，相邻没有发现未被访问的点，继续后退
4、退回到 8 ，相邻发现未被访问的点 7，路径为：8 -> 7
5、当搜索到 7 ，相邻没有发现未被访问的点，，此时我们要往后倒退…
6、退回路径7 -> 8 -> 9 -> 6 -> 3 -> 2 -> 1，流程结束

代码实现：

栈类

public class MyStack {//栈的底层使用数组来存储数据//private int[] elements;int[] elements; //测试时使用public MyStack() {elements = new int[0];}//添加元素public void push(int element) {//创建一个新的数组int[] newArr = new int[elements.length + 1];//把原数组中的元素复制到新数组中for (int i = 0; i < elements.length; i++) {newArr[i] = elements[i];}//把添加的元素放入新数组中newArr[elements.length] = element;//使用新数组替换旧数组elements = newArr;}//取出栈顶元素public int pop() {//当栈中没有元素if (is_empty()) {throw new RuntimeException("栈空");}//取出数组的最后一个元素int element = elements[elements.length - 1];//创建一个新数组int[] newArr = new int[elements.length - 1];//原数组中除了最后一个元素其他元素放入新数组for (int i = 0; i < elements.length - 1; i++) {newArr[i] = elements[i];}elements = newArr;return element;}//查看栈顶元素public int peek() {return elements[elements.length - 1];}//判断栈是否为空public boolean is_empty() {return elements.length == 0;}//查看栈的元素个数public int size() {return elements.length;}
}

顶点类

public class Vertex {private String value;public boolean visited; //访问状态public Vertex(String value) {super();this.value = value;}public String getValue() {return value;}public void setValue(String value) {this.value = value;}@Overridepublic String toString() {return value;}
}

图类

import mystack.MyStack;public class Graph {private Vertex[] vertex; //顶点数组private int currentSize; //默认顶点位置public int[][] adjMat; //邻接表private MyStack stack = new MyStack(); //栈private int currentIndex; //当前遍历的下标public Graph(int size) {vertex = new Vertex[size];adjMat = new int[size][size];}//向图中加入顶点public void addVertex(Vertex v) {vertex[currentSize++] = v;}//添加边public void addEdge(String v1, String v2) {//找出两个点的下标int index1 = 0;for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {if (vertex[i].getValue().equals(v1)) {index1 = i;break;}}int index2 = 0;for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {if (vertex[i].getValue().equals(v2)) {index2 = i;break;}}//表示两个点互通adjMat[index1][index2] = 1;adjMat[index2][index1] = 1;}//深度优先搜索public void dfs() {//把第0个顶点标记为已访问状态vertex[0].visited = true;//把第0个的下标放入栈中stack.push(0);//打印顶点值System.out.println(vertex[0].getValue());//遍历out:while (!stack.is_empty()) {for (int i = currentIndex + 1; i < vertex.length; i++) {//如果和下一个遍历的元素是通的if (adjMat[currentIndex][i] == 1 && vertex[i].visited == false) {//把下一个元素压入栈中stack.push(i);vertex[i].visited = true;System.out.println(vertex[i].getValue());continue out;}}//弹出栈顶元素（往后退）stack.pop();//修改当前位置为栈顶元素的位置if (!stack.is_empty()) {currentIndex = stack.peek();}}}
}

测试类

import java.util.Arrays;public class Demo {public static void main(String[] args) {Vertex v1 = new Vertex("A");Vertex v2 = new Vertex("B");Vertex v3 = new Vertex("C");Vertex v4 = new Vertex("D");Vertex v5 = new Vertex("E");Graph g = new Graph(5);g.addVertex(v1);g.addVertex(v2);g.addVertex(v3);g.addVertex(v4);g.addVertex(v5);//增加边g.addEdge("A", "B");g.addEdge("A", "C");g.addEdge("A", "E");g.addEdge("C", "E");g.addEdge("C", "D");for (int[] a : g.adjMat) {System.out.println(Arrays.toString(a));}//深度优先遍历g.dfs();
//        A
//        B
//        C
//        E
//        D}
}

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数据结构与算法之图结构

目录

图的基本概念

图的存储结构及实现

邻接矩阵

邻接表

图的遍历方式及实现

广度优先搜索

深度优先搜索

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