最全排列组合算法详解以及套路总结一文突破

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经常有同学私信或留言询问相关问题，V号bitcarmanlee。github上star的同学，在我能力与时间允许范围内，尽可能帮大家解答相关问题，一起进步。

1.排列组合问题

排列组合是经典的算法问题，相关的内容中学阶段就学习过。在讲算法实现之前，我们先简单复习一下排列组合的相关定义。
排列，英文名称为Permutation，简称P。假设有一个数组{1, 2, 3, 4, 5}，我们需要将数组中的所有元素进行排序，那么第一个位置，我们可以选择五个数字的任何一个，共有5种选择。第二个位置，可以选择剩余四个数字的任何一个，共有4种选择。第三个位置，可以选择剩余三个数字中的任何一个，共有3种选择。第四个位置，可以选择剩余两个数字中的任何一个，共有2种选择。最后一个位置，因为只剩一个数字，没得选择，所有只有一种选择。那么该数组总共的排列个数为5∗4∗3∗2∗1=1205*4*3*2*1=1205∗4∗3∗2∗1=120种。
如果数组的元素不重复，元素个数为N，按照上面的推导，容易得出该数组的全排列个数为N!N!N!，即P(N)=N!P(N) = N!P(N)=N!

很多时候我们不做全排列，比如5个元素，我们只需要取3个进行排序，按照前面的分析，很容易得知排列的个数为5∗4∗3=605*4*3=605∗4∗3=60种，后面的2∗12*12∗1两种情况被舍弃掉了。因此，从N个元素中选择k个做排列，公式也很容易写出来:P(N,k)=N!(N−k)!P(N, k) = \frac{N!}{(N-k)!}P(N,k)=(N−k)!N!

组合，英文名为Combination，简称C。假设同样是数组{1, 2, 3, 4, 5}，我们需要从数组中选择任意3个元素，那么有多少种方式呢？
根据前面的推导，我们能够得知，如果从5个元素中选择3个元素，排列的方式有P(5,3)=5!(5−3)!=60P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = 60P(5,3)=(5−3)!5!=60种。但是组合的时候，对顺序是不敏感的，比如我们选1,2,3与选1,3,2，虽然是两种排列方式，但是在组合里是一种情况。3个元素的全排列一共有3!=63!=63!=6种，所以组合的公式为C(N,K)=N!(N−k)!k!C(N,K) =\frac{N!}{(N-k)!k!}C(N,K)=(N−k)!k!N!

同时有二项式定理:
C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+⋯+C(n,n)=2nC(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + \cdots + C(n, n) = 2^nC(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+⋯+C(n,n)=2n

2.所有子集

首先我们看看求所有子集的情况：假设现在数组有三个不重复的元素{1, 2, 3}，求该数组所有的子集。
根据二项式定理，我们不难得出该数组所有的子集个数为C(3,0)+C(3,1)+C(3,2)+C(3,3)=23=8C(3, 0) + C(3, 1) + C(3, 2) + C(3, 3) = 2^3 = 8C(3,0)+C(3,1)+C(3,2)+C(3,3)=23=8

二话不说，先上代码，后面再分析具体思路。

import org.apache.commons.lang3.StringUtils;import java.util.ArrayList;public class SubSet {public static int[] nums = {1, 2, 3};public static ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<>();public static void subset(ArrayList<Integer> inner, int start) {for(int i=start; i<nums.length; i++) {inner.add(nums[i]);result.add(new ArrayList<>(inner));subset(inner, i+1);inner.remove(inner.size()-1);}}public static void main(String[] args) {ArrayList<Integer> inner = new ArrayList<>();result.add(inner);subset(inner, 0);for(ArrayList<Integer> each: result) {System.out.println(StringUtils.join(each, ","));}}
}

上面代码的输出为


1
1,2
1,2,3
1,3
2
2,3
3

刚好8种情况，而且看输出结果，符合我们的预期。

上面的解法，是经典的回溯解法。分析一下具体的思路：
首先思考我们如何凑出{1}, {1,2}, {1,2,3}这三个子集？从index=0开始遍历，此时将元素1加入inner中，并将inner加入result中，这样就将{1}这个子集加入了结果。接下来递归调用subset方法，只是将index变成0+1=1，这个时候inner将2加上，变成{1,2}，同时将inner加入result中，这样就将{1,2}这个子集加入结果。以此类推，下一次递归调用将{1,2,3}加入结果。

主要来分析一下怎么从{1,2,3}这个子集回溯得到{1,3}:
得到{1,2,3}这个子集以后，此时递归调用subset(inner, 3)，不满足for循环中i<nums.length的条件，该次调用结束。此时返回start=2时的压栈现场，先执行inner.remove(inner.size()-1);这一句，会将此时inner的最后一个元素3删除，此时inner为{1, 2}。然后，会再返回start=1时的压栈现场，这时会删除inner中的最后一个元素2，此时inner只剩最后一个元素1。初始start=0时，for循环内调用subset(1)已经全部结束，开始执行for循环内subset(2)，会添加上元素3，inner变成{1,3}。以此类推，最终会得到所有的子集。

上面的分析过程，实际上就是代码中函数不停压栈然后回溯调用的过程。建议同学们可以实际debug一下，看一看代码运行过程，会理解得更加深刻。

3.从n个元素中选择k个组合

第二部分是求所有的子集，如果我们限定子集元素的个数，即从n个元素中选择k个元素组合，就是常见的C(n,k)C(n, k)C(n,k)问题。

解法思路基本与上面相同，先看代码。

import org.apache.commons.lang3.StringUtils;import java.util.ArrayList;public class SelectK {public static int[] nums = {1, 2, 3};public static ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<>();public static void select(ArrayList<Integer> inner, int start, int k) {for(int i=start; i<nums.length; i++) {inner.add(nums[i]);if (inner.size() == k) {result.add(new ArrayList<>(inner));inner.remove(inner.size()-1);continue;}select(inner, i+1, k);inner.remove(inner.size()-1);}}public static void main(String[] args) {ArrayList<Integer> inner = new ArrayList<>();int k = 2;select(inner, 0, k);for(ArrayList<Integer> each: result) {System.out.println(StringUtils.join(each, ","));}}
}

结果为：

1,2
1,3
2,3

与求所有子集不一样的地方在于，只有当inner中的元素个数为k时，才将inner添加到result中。同时，添加完毕以后，先将最后一个元素删除，然后就可以直接continue，结束本次循环。

4.n个元素的全排列

按照我们之前的分析，n个不重复的元素，全排列的情况总共为n!n!n!种。假设数组{1, 2, 3}，那么全排列一共有6种情况。

还是先上代码

import org.apache.commons.lang3.StringUtils;import java.util.ArrayList;public class PermutationN {public static int[] nums = {1, 2, 3};public static ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<>();public static void permuation(ArrayList<Integer> inner) {if (inner.size() == nums.length) {result.add(new ArrayList<>(inner));return;}for(int i=0; i<nums.length; i++) {if (inner.contains(nums[i])) {continue;}inner.add(nums[i]);permuation(inner);inner.remove(inner.size()-1);}}public static void main(String[] args) {ArrayList<Integer> inner = new ArrayList<>();permuation(inner);for(ArrayList<Integer> each: result) {System.out.println(StringUtils.join(each, ","));}}
}

同样来分析一下代码的思路：
1.如果inner的size满足条件，加入到result中，并返回。
2.从第一个元素开始循环：
2.1 如果该元素在inner中，表示该元素已经被访问，本次循环continue。
2.2 如果元素不在inner中，加入inner。
2.3 递归调用permuation方法。
2.4 本次permuation方法调用结束以后，删除掉inner中的最后一个元素。

思路是不是还算比较清晰。同样的，如果看上去有点晕，也建议大家去IDE中debug，观察一下函数递归调用的整个流程。

inner.contains(nums[i]) 这一行起的作用，是判断该元素有没有被访问，实际中更常见的另外一种写法是用一个visit数组来记录元素被访问的情况，下面我们采用visit数组的写法来表示一下。

import org.apache.commons.lang3.StringUtils;import java.util.ArrayList;public class PermutationN {public static int[] nums = {1, 2, 3};public static ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<>();public static boolean[] visit = new boolean[nums.length];public static void permuation(ArrayList<Integer> inner, boolean[] visit) {if (inner.size() == nums.length) {result.add(new ArrayList<>(inner));return;}for(int i=0; i<nums.length; i++) {if (visit[i]) {continue;}visit[i] = true;inner.add(nums[i]);permuation(inner, visit);inner.remove(inner.size()-1);visit[i] = false;}}public static void main(String[] args) {ArrayList<Integer> inner = new ArrayList<>();permuation(inner, visit);for(ArrayList<Integer> each: result) {System.out.println(StringUtils.join(each, ","));}}
}

用visit数组标记该元素是否被访问，与之前的版本相比，多了两个步骤：
1.该元素被访问，visit数组该位置被置为true;
2.递归回溯的时候，visit数组该位置被置为false。

5.n个有重复元素的全排列

上面的全排列例子，数组中没有重复元素。如果某个数组中的元素有重复，比如该数组，{1, 1, 2}，要求该数组的全排列，该怎么办？
话不多说，还是先上代码。

import org.apache.commons.lang3.StringUtils;import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;public class PermutationDuplicate {public static int[] nums = {1, 2, 1};public static ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<>();public static boolean[] visit = new boolean[nums.length];public static void permuation(ArrayList<Integer> inner, boolean[] visit) {if (inner.size() == nums.length) {result.add(new ArrayList<>(inner));return;}for(int i=0; i<nums.length; i++) {if (visit[i]) {continue;}if (i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && !visit[i-1]) {continue;}inner.add(nums[i]);visit[i] = true;permuation(inner, visit);inner.remove(inner.size()-1);visit[i] = false;}}public static void main(String[] args) {Arrays.sort(nums);ArrayList<Integer> inner = new ArrayList<>();permuation(inner, visit);for(ArrayList<Integer> each: result) {System.out.println(StringUtils.join(each, ","));}}
}

重点看与上面不同的地方：
1.要先对数组进行排序，保证有序。
2.

            if (i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && !visit[i-1]) {continue;}

这个条件可以这么理解：
当第一个排列1,1,2记录完毕以后，后续会再产生一个1,1,2的排列。第二个1,1,2的排列，是第二个1先被访问，第一个1再被访问。此时第一个1的visit标志为false，所以这种情况下，本次循环也直接continue即可，不加入结果中！

6.套路总结

上面各个case挨个解完以后，下面我们来总结一下排列组合问题的套路。

先看排列问题：

result = []
def permutation(路径, 选择列表):if 满足结束条件:result.add(路径)returnfor 选择 in 选择列表:做选择permutation(路径, 选择列表)撤销选择

针对不同的情况，需要确认的就两点：结束条件与如何选择。
上面的流程，本质是个标准的回溯法。

再看看组合问题

result = []
def permutation(路径, 选择列表):for 选择 in 选择列表:做选择permutation(路径, 选择列表)撤销选择

组合的套路，本质也是回溯法的使用。与排列稍微不一样的地方在于，组合问题的结束条件可以不用写出来，等循环结果即可。