本文章是[学习笔记]生成函数进阶的一部分

1.导数

1.1 定义

导数:

导函数:

所有可导区间的导数组成了一个新的函数，我们将它称为f(x)f(x)f(x)的导函数，记为f′(x)f'(x)f′(x)。
dx\mathrm{d} xdx表示对x取无穷小的量，那么f′(x)=df(x)dxf'(x)=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}f′(x)=dxdf(x)。

1.2 导数的运算

I.初等函数导数运算:

[证明估计是要到大学才学了…]

f(x)f(x)f(x)	f′(x)f'(x)f′(x)
CCC(CCC为常数)	000
xαx^{\alpha}xα(α∈Q∗\alpha \in Q^{*}α∈Q∗)	αxα−1\alpha x^{\alpha-1}αxα−1
axa^xax	axln⁡aa^x\ln aaxlna
exe^xex	exe^xex
log⁡ax\log_a xlogax	1xln⁡a\frac{1}{x\ln a}xlna1
ln⁡x\ln xlnx	1x\frac{1}{x}x1
sin⁡x\sin xsinx	cos⁡x\cos xcosx
cos⁡x\cos xcosx	−sin⁡x-\sin x−sinx

II.导数四则运算:

(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x),[Cf(x)]′=Cf′(x)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x),[Cf(x)]'=Cf'(x)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x),[Cf(x)]′=Cf′(x)
(2)[f(x)⋅g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)⋅g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(3)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}(g(x)≠0)[g(x)f(x)]′=g2(x)f′(x)g(x)−f(x)g′(x)(g(x)=0)

III.复合函数的导数:

[f(g(x))]′=df(g(x))dg(x)=df(g(x))dx⋅dxdg(x)=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]'=\frac{\mathrm{d}f(g(x))}{\mathrm{d} g(x)}=\frac{\mathrm{d}f(g(x))}{\mathrm{d} x}·\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} g(x)}=f'(g(x))·g'(x)[f(g(x))]′=dg(x)df(g(x))=dxdf(g(x))⋅dg(x)dx=f′(g(x))⋅g′(x)。

1.3 导数与函数

I.导数与函数单调性的关系:

如果在某个开区间内总有f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，那么f(x)f(x)f(x)为增函数。
减函数同理。

II.费马定理:

III.利用导数求函数的极值(点)

若函数在定义域内可导，则求解其极值 (点) 的步骤如下：

(1) 确定函数定义域；
(2) 求导数 f′(x)f'(x)f′(x)；
(3) 在定义域内求方程 f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0 的根；
(4) 检查 f′(x)f'(x)f′(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)f (x)f(x) 在这个根处取得极大值，对应根为极大值点；如果左负右正，那么 f(x)f (x)f(x) 在这个根处取得极小值，这个根为极小值点；如果左右同号，那么 f(x)f (x)f(x) 在这个根处不取极值。

2.定积分初步

2.1 定义

[从某网校物理讲义上扒过来的定义…有水印,应该不叫侵权…]

2.2 定积分的几何意义

通俗的来讲，定积分就是f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]域上的有向面积。
有向面积顾名思义就是在xxx轴上面的权值为正，在xxx轴下面的权值为负，换个说法就是函数在xxx轴上面的总面积减xxx轴下面的总面积。

2.3 微积分基本定理

有一个很高级的名字叫牛顿—莱布尼茨公式。

一般地，如果 f(x)f (x)f(x) 是区间 [a,b][a,b][a,b] 上的连续函数，并且 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)，那么 ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int ^b_a f(x)\mathrm{d}x = F (b)-F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)。

要注意f(x)f(x)f(x)是F(x)F(x)F(x)的导数。
初看这个定理你可能无法理解，我们可以来举一个例子:

在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
那么如果我们给出瞬时速度的函数f(x)f(x)f(x)，那么物体位移的函数就是F(x)F(x)F(x)。
根据2.2的内容，∫abf(x)dx\int ^b_a f(x)\mathrm{d}x∫abf(x)dx就是物体在[a,b][a,b][a,b]的位移，正好就是F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)。

2.4 奇偶函数的定积分

我们知道若函数是奇函数，则其但函数为偶函数；若函数为偶函数，则其导函数为奇函数，于是根据积分与导数的关系，函数在其对称区间上积分时有如下结论:

(1)若函数 f(x)f(x)f(x) 为偶函数，∫−aaf(x)dx=2F(a)\int^a_{-a} f(x)\mathrm{d} x=2F(a)∫−aaf(x)dx=2F(a)。
(2)若函数 f(x)f(x)f(x) 为奇函数，∫−aaf(x)dx=0\int^a_{-a} f(x)\mathrm{d} x=0∫−aaf(x)dx=0。

说不定哪时候会派上用场。

2.5 定积分的运算性质

(1)∫abk⋅f(x)dx=k⋅∫abf(x)dx\int^b_{a} k·f(x)\mathrm{d} x=k·\int^b_{a} f(x)\mathrm{d} x∫abk⋅f(x)dx=k⋅∫abf(x)dx(kkk为常数)
(2)∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\int^b_{a} [f(x)±g(x)]\mathrm{d} x=\int^b_{a} f(x)\mathrm{d} x+\int^b_{a} g(x)\mathrm{d} x∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx
(3)∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx(a<c<b)\int^b_{a} f(x)\mathrm{d} x=\int^c_{a} f(x)\mathrm{d} x+\int^b_{c} f(x)\mathrm{d} x(a<c<b)∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx(a<c<b)

都挺显然的。

END

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