专题二 MATLAB矩阵处理
本篇是B站视频的笔记。
2.1 特殊矩阵
通用性的特殊矩阵
- zeros函数:产生全0矩阵,即零矩阵。
- ones函数:产生全1矩阵,即幺矩阵。
- eye函数:产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时,得到一个单位矩阵。
- rand函数:产生(0,1)区间均匀分布的随机矩阵。
- randn函数:产生均值为0,方差为1的标准正态分布随机矩阵。
其调用格式相似,以zeros函数的调用格式为例:- zeros(m):产生m * m零矩阵。
- zeros(m,n):产生m * n零矩阵。
- zeros(size(A)):产生与矩阵A同样大小的零矩阵。
用于专门学科的特殊矩阵
(1)魔方矩阵——Magic Square
>> M=magic(3)
M =8 1 63 5 74 9 2
- n阶魔方阵由1,2,3,…,n2共n2个整数组成,且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。
- n阶魔方阵每行每列元素的和为(1+2+3+···+n2)/n=(n+n3)/2。
- MATLAB函数magic(n)产生一个特定的魔方阵。
(2)范德蒙矩阵
在MATLAB中,函数vander(V)生成以向量V为基础的范德蒙(Vandermonde)矩阵。
>> A=vander(1:5)
A = 1 1 1 1 116 8 4 2 181 27 9 3 1256 64 16 4 1625 125 25 5 1
范德蒙矩阵常用在各种通信系统的纠错编码中,例如,常用的Reed-Solomon编码即以范德蒙矩阵为基础。
(3)希尔伯特矩阵
在MATLAB中,生成n阶希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。
>> format rat
>> H=hilb(4)
H = 1 1/2 1/3 1/41/2 1/3 1/4 1/51/3 1/4 1/5 1/61/4 1/5 1/6 1/7
*希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵,即任何一个元素发生较小的变动,整个矩阵的值和逆矩阵都会发生很大的变化。病态程度和矩阵阶数相关,随着阶数的增加,病态更加严重。
(4)伴随矩阵
MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan§,其中p是一个多项式的系数向量,高次幂系数排在前,低次幂系数排在后。
例如,生成多项式x3-2x2-5x+6的伴随矩阵。
>> p=[1,-2,-5,6];
>> A=compan(p)
A = 2 5 -61 0 00 1 0
(5)帕斯卡矩阵
- 根据二项式定理,(x+y)n展开后的系数随着n的增大组成一个三角形表,这个三角形称为杨辉三角。
- 把二项式系数一次填写在矩阵的左侧对角线上,然后提取左侧的n行n列元素级委n阶帕斯卡(Pascal)矩阵。
帕斯卡矩阵的第一行元素和第一列元素都为1,其余位置的元素是该元素的左边元素与上面元素相加,即P(i,j)=P(i,j-1)+P(i-1,j),且P(i,1)=1,P(1,j)=1。
函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。
2.2 矩阵变换
对角阵
- 对角矩阵:只有对角线上有非零元素的矩阵。
- 数量矩阵:对角线上的元素相等的对角矩阵。
- 单位矩阵:对角线上的元素都为1的对角矩阵。
(1)提取矩阵的对角线元素
- diag(A):提取矩阵A主对角线元素,产生一个列向量。
- diag(A,k):提取矩阵A第k条对角线的元素,产生一个列向量。
(2)构造对角矩阵
- diag(V):以向量V为主对角线元素,产生对角矩阵。
- diag(V,k):以向量V为第k条对角线元素,产生对角矩阵。
三角阵
(1)上三角矩阵
- triu(A):提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
- triu(A,k):提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素
>> triu(ones(4),-1)
ans =1 1 1 11 1 1 10 1 1 10 0 1 1
(2)下三角矩阵
在MATLAB中,提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril,其用法与triu函数完全相同。
矩阵的转置
- 转置运算符是小数点后面接单引号(.’)。
- 共轭转置,其运算符是单引号(’),它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。
矩阵的旋转
rot90(A,k):将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍,当k为1时可以省略。
矩阵的翻转
- fliplr(A):对矩阵A实施左右翻转。
- flipud(A):对矩阵A实施上下翻转。
矩阵的求逆
对于一个方阵A,如果存在一个与其同阶的方阵B,使得AB=BA=I(I为单位矩阵),则称B为A的逆矩阵,当然,A也是B的逆矩阵。
- inv(A):求方阵A的逆矩阵。
2.3 矩阵求值
方阵的行列式
把一个方阵看作一个行列式,并对其按行列式的规则求值,这个值就称为方阵所对应的行列式的值。
· det(A):求方阵A所对应的行列式的值。
矩阵的秩
矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。
- rank(A):求矩阵A的秩。
矩阵的迹
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和,也等于矩阵的特征值之和。
- frace(A):求矩阵A的迹。
向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。
(1)向量的3中常用范数
- 向量1——范数:向量元素的绝对值之和。
- 向量2——范数:向量元素平方和的平方根。
- 向量无穷oo——范数:所有向量元素绝对值中的最大值。
在MATLAB中,求向量范数的函数为:
- norm(V)或norm(V,2):计算向量V的2——范数。
- norm(V,1):计算向量V的1——范数。
- norm(V,inf):计算向量V的oo——范数。
(2)矩阵的范数
从属与3中向量范数,矩阵范数计算公式如下。
- 矩阵A的1——范数:矩阵列元素绝对值之和的最大值。
- 矩阵A的2——范数:A’A(矩阵的转置与A本身的乘积)矩阵的最大特征值的平方根。
- 矩阵A的无穷oo——范数:所有矩阵航元素绝对值之和的最大值。
MATLAB提供了求3中矩阵范数的函数,其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。
矩阵的条件数
矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
条件数越接近于1,矩阵的性能越好,反之,矩阵的性能越差。
在MATLAB中,计算矩阵A的3中条件数的函数是:
- cond(A,1):计算A的1——范数下的条件数。
- cond(A)或cond(A,2):计算A的2——范数下的条件数。
- cond(A,inf):计算A的oo——范数下的条件数。
2.4 矩阵的特征值与特征向量
矩阵特征值的数学定义
不多描述。
求矩阵的特征值与特征向量
函数调用格式用两种:
- E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成向量E。
- [X,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并参数矩阵X,X各列是相应的特征向量。
特征值的几何意义
2.5 稀疏矩阵
稀疏矩阵,0元素远远大于非0元素个数的矩阵。
矩阵的存储方式
- 完全存储方式
- 稀疏存储方式:只存储矩阵的非零元素的值及其位置,即行号和列号。注意,采用稀疏存储方式时,矩阵元素的存储顺序并没有改变,也是按列的顺序进行存储。
稀疏存储方式的产生
(1)完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化
- A=sparse(S):将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。
- S=full(A):将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S。
(2)直接建立稀疏存储矩阵
sparse函数的其他调用格式:
- sparse(m,n):生成一个m*n的所有元素都是零的稀疏矩阵。
- sparse(u,v,S):其中u、v、S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非零元素,u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标。
使用spconvert函数直接建立稀疏存储矩阵,其调用格式为:B=spconvert(A)
A为一个m3或m4的矩阵,其每行代表一个非零元素,m是非零元素的个数。
- A(i,1)表示第i个非零元素所在的行。
- A(i,2)表示第i个非零元素所在的列。
- A(i,3)表示第i个非零元素值的实部。
- A(i,4)表示第i个非零元素的虚部。
若矩阵的全部元素都是实数,则无需第4列。
(3)带状稀疏矩阵的稀疏存储
稀疏矩阵有两种基本类型:无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。
带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。
- [B,d]=spdiags(A):从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d。
- A=spdiags(B,d,m,n):产生带状稀疏矩阵的稀疏矩阵A,其中m,n为原带状稀疏矩阵的行数与列数,矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线,向量d为原带状稀疏矩阵所有费零对角线的位置。
(4)单位矩阵的稀疏存储
speye(m,n)返回一个m*n的稀疏存储单位矩阵。
注意,当参与运算的数据对象不全是稀疏存储矩阵时,所得结果是完全存储形式。
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