1定理

设 $A\epsilon C_{r}^{m*n}$ ，则存在 $B\epsilon C_{r}^{m*r}$ ， $C\epsilon C_{r}^{r*n}$ 满足

A = BC

2求解过程

2.1求解B

对A仅做初等行变换即可得到简化阶梯形矩阵J，其秩为r，假设主元所在的第 $i_{1}$ 列，第 $i_{2}$ ...第 $i_{r}$ 列（r个线性无关的列向量，组成一个对角矩阵或r个基向量组成一个对角矩阵），然后选取矩阵A中的第 $i_{1}$ 列，第 $i_{2}$ ...第 $i_{r}$ 列组成B。注意此时（r个线性无关的列向量，组成一个对角矩阵或r个基向量组成一个对角矩阵）的对角线元素都应该是1。如果不为1，这应该对乘上相应的因子使其为1，然后不同的列有不同的变换因子，对应的列变换因子乘上B对应的列。

列如下图的B是阶梯简化后的矩阵。取第1，第2列作为基向量矩阵，但是对角元素不为1 ，B的第1列要乘上-1，第2列要乘上0.5才是元素为1的基向量。因此F = （A的第1列*（-1），A的第二列*0.5）组成标题中的B。

2.2求解C

将J的全为零的行去掉，剩下的行向量组成矩阵C。

3 matlab程序

因为rref函数简化后的基向量的元素都为1，因此程序里面不需要额外乘上变换因子。

function [B,C] = FRdec(A)
%  B = rref(A);
si = size(A);
k = rank(A);
B = zeros(si(1),k);
[C,D]= rref(A);
% D = zeros(1,k);%记录k个线性无关组在C中所在的列
% for i=1:k
%     for j=1:si(2)
%         if C(i,j) == norm(C(:,j));
%            D(i) =  j;
%            continue;
%         end
%     end
% end
for i=1:kB(:,i) = A(:,D(i)); %提取无关组对应的A的列向量
end
C = C(1:k,:);

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