数据结构和算法二十一

剑指 Offer 16. 数值的整数次方

题目：实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，x^n）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。
示例 1：
         输入：x = 2.00000, n = 10
         输出：1024.00000
示例 2：
         输入：x = 2.10000, n = 3
         输出：9.26100
示例 3：
         输入：x = 2.00000, n = -2
         输出：0.25000
         解释：2负2次方 = 1/2的平方 = 1/4 = 0.25
提示：
         -100.0 < x < 100.0
         -2的31次方 <= n <= 2的31次方-1
         -10的4次方 <= x的n次方 <= 10的4次方
解题思路：

求 x^n最简单的方法是通过循环将n个x乘起来，依次求 x^1, x^2, …, x^n-1, x^n，时间复杂度为O(n)。
快速幂法可将时间复杂度降低至O(log2n) ，以下从 “二分法” 和 “二进制” 两个角度解析快速幂法。

快速幂解析（二进制角度）：

利用十进制数字n的二进制表示，可对快速幂进行数学化解释。

对于任何十进制正整数n ，设其二进制为 “bm…b3b2b1”（bi为二进制某位值，i∈[1,m] ），则有：

二进制转十进制： n = 1b1 + 2b2 + 4b3 + … + 2^(m-1)（即二进制转十进制公式）；

幂的二进制展开： x^n =x^1b1 + 2b2 + 4b3 + … + [2^(m-1)bm]= x^1b1 * x^2b2 * x^4b3 *…x^[2(m-1)bm]；

根据以上推导，可把计算 x^n转化为解决以下两个问题：

计算 x^1, x^2, x^4, …, [x^2]m-1的值：循环赋值操作 x = x^2即可；

获取二进制各位 b1, b2, b3, …, bm的值：循环执行以下操作即可。
1、n&1 （与操作）：判断n二进制最右一位是否为 1 ；
2、n>>1（移位操作）：n右移一位（可理解为删除最后一位）。

因此，应用以上操作，可在循环中依次计算的值，并将所有
累计相乘即可

当 bi =0：

当 bi =1时：

快速幂解析（二分法角度）：

快速幂实际上是二分思想的一种应用。

二分推导:
，令n/2为整数，则需要分为奇偶两种情况（设向下取整除法符号为"//"）：

当n为偶数：

当n为奇数：
，即会多出一项x；

幂结果获取

根据二分推导，可通过循环x= x^2操作，每次把幂从n降至n//2，直至将幂降为0；

设 res=1，则初始状态 x^n = [x^n] * res 。在循环二分时，每当n为奇数时，将多出的一项x乘入res ，则最终可化至 x^n =[x^0] * res = res，返回res即可。

转化为位运算： 向下整除n//2等价于右移一位n>>1；取余数n%2等价于判断二进制最右一位值n&1；

算法流程：
1、当x=0 时：直接返回0（避免后续x=1/x 操作报错）。
2、初始化res=1；
3、当n<0 时：把问题转化至n≥0 的范围内，即执行x=1/x ，n=−n；
4、循环计算：当n=0时跳出；
（1）当n&1=1时：将当前x乘入res（即res*=x ）；
（2）执行 x = x^2（即 x *= x）；
（3）执行n右移一位（即n>>=1）。
5、返回res 。
复杂度分析：
时间复杂度O(log2n) ：二分的时间复杂度为对数级别。
空间复杂度 O(1) ： res, b等变量占用常数大小额外空间。
代码：

Java 代码中 int32 变量n∈[−2147483648,2147483647] ，因此当n=−2147483648时执行n=−n会因越界而赋值出错。解决方法是先将n存入 long 变量b ，后面用b操作即可。

class Method{public double myPow(double x, int n) {if(x == 0) return 0;long b = n;double res = 1.0;if(b < 0) {x = 1 / x;b = -b;}while(b > 0) {if((b & 1) == 1) res *= x;x *= x;b >>= 1;}return res;}
}

剑指 Offer 17. 打印从 1 到最大的 n 位数

题目：输入数字 n，按顺序打印出从 1 到最大的 n 位十进制数。比如输入 3，则打印出 1、2、3 一直到最大的 3 位数 999。

示例 1:
         输入: n = 1
         输出: [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
说明：
         用返回一个整数列表来代替打印；
         n 为正整数；
解题思路：

题目要求打印 “从1至最大的n位数的列表”，因此需考虑以下两个问题：
1、最大的n位数（记为end）和位数n的关系：例如最大的1位数是9 ，最大的2位数是 99，最大的3位数是 999 。则可推出公式：
end = 10^n - 1
2、大数越界问题：当n较大时，end 会超出int32 整型的取值范围，超出取值范围的数字无法正常存储。但由于本题要求返回int类型数组，相当于默认所有数字都在 int32 整型取值范围内，因此不考虑大数越界问题。
因此，只需定义区间[1,10^n −1] 和步长1，通过for循环生成结果列表res并返回即可。

复杂度分析：

时间复杂度 O(10^n)：生成长度为 10^n的列表需使用 O(10^n)时间。空间复杂度 O(1) ：建立列表需使用O(1)
大小的额外空间（列表作为返回结果，不计入额外空间）。

代码：

class Method{public int[] printNumbers(int n) {int end = (int)Math.pow(10, n) - 1;int[] res = new int[end];for(int i = 0; i < end; i++)res[i] = i + 1;return res;}
}

大数打印解法：

实际上，本题的主要考点是大数越界情况下的打印。需要解决以下三个问题：

表示大数的变量类型：
无论是 short / int / long … 任意变量类型，数字的取值范围都是有限的。因此，大数的表示应用字符串 String 类型。
生成数字的字符串集：
使用 int 类型时，每轮可通过+1生成下个数字，而此方法无法应用至 String 类型。并且， String 类型的数字的进位操作效率较低，例如 “9999” 至 “10000” 需要从个位到千位循环判断，进位 4 次。

观察可知，生成的列表实际上是n 位0 - 9的全排列，因此可避开进位操作，通过递归生成数字的 String 列表。
递归生成全排列：
基于分治算法的思想，先固定高位，向低位递归，当个位已被固定时，添加数字的字符串。例如当n=2 时（数字范围1−99 ），固定十位为0 - 9，按顺序依次开启递归，固定个位0 - 9，终止递归并添加数字字符串。

根据以上方法，可初步编写全排列代码：

class Method{StringBuilder res;int count = 0, n;char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};public String printNumbers(int n) {this.n = n;res = new StringBuilder(); // 数字字符串集num = new char[n]; // 定义长度为 n 的字符列表dfs(0); // 开启全排列递归res.deleteCharAt(res.length() - 1); // 删除最后多余的逗号return res.toString(); // 转化为字符串并返回}void dfs(int x) {if(x == n) { // 终止条件：已固定完所有位res.append(String.valueOf(num) + ","); // 拼接 num 并添加至 res 尾部，使用逗号隔开return;}for(char i : loop) { // 遍历 ‘0‘ - ’9‘num[x] = i; // 固定第 x 位为 idfs(x + 1); // 开启固定第 x + 1 位}}
}

在此方法下，各数字字符串被逗号隔开，共同组成长字符串。返回的数字集字符串如下所示：

输入：n = 1
输出："0,1,2,3,4,5,6,7,8,9"输入：n = 2
输出："00,01,02,...,10,11,12,...,97,98,99"输入：n = 3
输出："000,001,002,...,100,101,102,...,997,998,999"

观察可知，当前的生成方法仍有以下问题：

1、诸如00,01,02,⋯ 应显示为0,1,2,⋯ ，即应删除高位多余的0;
2、此方法从0开始生成，而题目要求列表从1开始；
以上两个问题的解决方法如下：

1、删除高位多余的0 ：

字符串左边界定义： 声明变量start规定字符串的左边界，以保证添加的数字字符串 num[start:] 中无高位多余的0。例如当n=2 时，1−9 时start=1 ，10−99 时start=0 。
左边界start变化规律： 观察可知，当输出数字的所有位都是9 时，则下个数字需要向更高位进1 ，此时左边界start需要减1（即高位多余的0减少一个）。例如当n=3（数字范围1−999）时，左边界start需要减1的情况有： “009” 进位至 “010” ， “099” 进位至 “100” 。设数字各位中9的数量为 nine，所有位都为9的判断条件可用以下公式表示：
n−start=nine
统计nine的方法： 固定第x位时，当i=9则执行nine=nine+1，并在回溯前恢复nine=nine−1 。

2、列表从1开始：

在以上方法的基础上，添加数字字符串前判断其是否为 “0” ，若为 “0” 则直接跳过。

复杂度分析：
时间复杂度 O(10^n)：递归的生成的排列的数量为 10^n 。
空间复杂度 O(10^n)：结果列表res的长度为 10^n - 1，各数字字符串的长度区间为1,2,…,n ，因此占用 O(10^n)大小的额外空间。
代码：

为正确表示大数，以下代码的返回值为数字字符串集拼接而成的长字符串。

class Method{StringBuilder res;int nine = 0, count = 0, start, n;char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};public String printNumbers(int n) {this.n = n;res = new StringBuilder();num = new char[n];start = n - 1;dfs(0);res.deleteCharAt(res.length() - 1);return res.toString();}void dfs(int x) {if(x == n) {String s = String.valueOf(num).substring(start);if(!s.equals("0")) res.append(s + ",");if(n - start == nine) start--;return;}for(char i : loop) {if(i == '9') nine++;num[x] = i;dfs(x + 1);}nine--;}
}

本题要求输出 int 类型数组。为 运行通过 ，可在添加数字字符串s前，将其转化为 int 类型。代码如下所示：

class Method{int[] res;int nine = 0, count = 0, start, n;char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};public int[] printNumbers(int n) {this.n = n;res = new int[(int)Math.pow(10, n) - 1];num = new char[n];start = n - 1;dfs(0);return res;}void dfs(int x) {if(x == n) {String s = String.valueOf(num).substring(start);if(!s.equals("0")) res[count++] = Integer.parseInt(s);if(n - start == nine) start--;return;}for(char i : loop) {if(i == '9') nine++;num[x] = i;dfs(x + 1);}nine--;}
}

总结：

我深深的热爱这座城市！这座城市包含了我儿时的记忆！但我渐渐的离它愈来愈远！我发现仅仅靠热爱这座城市还是不够的！前提是还要有足够多的钱和足够强大的技能才可以在这大都市中生存下去！于是我踏上了返乡的旅途！此时并不是我怕了，而是我深深的知道我的不足！
         其实说笑了，返回西安的真正原因是需要处理一些学校的事情！因为专升本成绩也马上出来了！我等成绩出来以后才能决定是工作还是继续上学进修学历！说这些的时候，我可能已经踏上返回西安的火车了！路途遥远得颠簸一个晚上，明天早上就到了，忙完学校的事情以后去爬一爬华山、去兵马俑看一看，5.1的时候华山人太多，所以就选择在上海外滩看一看，再看一看儿时记忆当中场景，也算满足我的一个小小的心愿吧，也顺便看一下这边的招聘要求是什么？心里也好有一个底！作为一名程序员，有时间就好好的出去转一转，不然真正加班的时候可有自己受的，另外有时间多陪伴父母和家人，尽可能地多一些兴趣爱好之类的来缓解自己的压抑！比如：像我平时就喜欢跑步、骑行、弹吉他、写诗、以及折纸、玩魔方等等。
         最后，愿我们都能在各行各业中能够取得不同的成就！能够用自身的所学知识为国家贡献出自己的一份力量！一起加油！
                                                                                                                       2021年5月7日夜
         这篇博客晚更了1天，因为前天下午从上海坐上了到西安的Z92列车，车上的信号一直不好，电脑一直在行李架上放着，也不太好取，然后就准备昨天更，昨天实在是太忙了！在中公教育的实习也接近了尾声，需要搬离宿舍，因此忙碌了一整天，昨天晚上开始写的博客，不知不觉已经凌晨了！无论如何我都会把之前缺的博客补起来！望各位小伙伴谅解！感谢小伙伴们的关注和点赞！