极大极小策略

MAXMIN strategies

在零和博弈的背景下特别有意义。实际上对所有博弈都会很有意义。

简单地说，是参与者在假设其他参与者要给他难堪下，最大化他们的回报。
更为一般地定义极大极小策略是：最大化我最坏情况下结果的一个策略。极大极小值或安全水平，就是极大极小策略保证的回报
the maxmin strategy, is a strategy that maximizes my worse case outcome. And, my maxmin value, or safety level, is, that payoff, that’s guaranteed by the, maxmin strategy.

假设其他人最大化他们的回报时，最小化他们的回报。

正式的定义：参与者 i 的极小极大策略为参与者 i 与参与者 -i 进行博弈，该策略即为最小化其他人的最大回报。极小极大值就是极小极大策略中，参与者1对应的值

现在为什么参与者1要去伤害另一个人呢 ？是要让参与者2下不来台 ？他们可能在进行零和博弈。

因此，在零和博弈当中，伤害其他人就等同tantamount于在改善自己的回报。

因此在零和博弈当中，极大极小与极小极大策略很有意义。实际上在一个著名理论当中，约翰·冯·诺依曼证明了在零和博弈当中。

1928约翰·冯·诺依曼零和博弈证明

定义上 我们只考虑两个参与者这样的博弈，任何纳什均衡当中参与者的回报等于其极大极小值与极小极大值，这就是说我们可以将其称为博弈的值参与者1的值称为博弈的值 。这就是说，极大极小策略的集合与极小极大策略的集合相同。也就是说改善你的最差情况与最小化他人的最佳情况是一样的。

任何极大极小策略组合或是极小极大策略组合也是。因为它们都构成了纳什均衡

硬币匹配博弈

图形方式具体感受的一个方式

计算Maxmin

相关均衡 (correlated equilibrium)

两个例子：

背后的直觉

• 真实情况下会发生什么？这种情况下，我们有一个交叉路口并且有可能发生汽车碰撞时。

  • 我们真正要做的 是装一盏红绿灯。它是一个公平的随机装置，为个体行动提建议，它告诉其中一辆开出，另一辆要等待。它是公平的。在不同的时间 它提出不同的建议

• 好处是负面的支付情况完全得到了避免

  • 我们可以实现公平的目标

  • 社会福利总和有可能超过任何纳什均衡

• 我们可以用同样的想法达成公平结果。我们可能会遇到这样的情况：丈夫和妻子抛硬币，根据硬币的出现方式，他们要么一起去看芭蕾舞，要么一起去看足球 。

• 这本质上是一个相关均衡的概念 (correlated equilibrium)：相关均衡是对参与者的行动提出随机分配的建议，让每个人都想遵循这个行动建议 。那么我们有一些随机化装置。它在一些时候告诉我b，一些时候告诉我 f 。这是一种关联的方式，潜在的关联方式。像是抛一个硬币。如果是正面，我们都会得到建议 b。如果是反面，我们都会得到建议 f。

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