题目描述

2203. 得到要求路径的最小带权子图

解题思路：三次最短路

从 src1\textit{src}_1src1 到 dest\textit{dest}dest 有唯一的一条简单路径，记为 XXX
从 src2\textit{src}_2src2 到 dest\textit{dest}dest 有唯一的一条简单路径，记为 YYY

假设 XXX 上第一个与 YYY 共有的节点为 ccc，显然这样的 ccc 是一定存在的，因为 dest\textit{dest}dest 就是 XXX 和 YYY 的一个共有节点（但可能存在更早的共有节点）。因此，整个子图可以看成是三部分的并集：

从 src1\textit{src}_1src1 到 ccc 的一条简单路径
从 src2\textit{src}_2src2 到 ccc 的一条简单路径
从 ccc 到 dest\textit{dest}dest 的一条简单路径

此时子图的边权和即为这三部分的边权和之和，即子图呈现「Y 型」。

算法流程：

使用两次 Dijkstra\text{Dijkstra}Dijkstra 算法计算出以 src1\textit{src}_1src1 为出发点和以 src2\textit{src}_2src2 为出发点，到所有节点的最短路径长度
对于「从 ccc 到 dest\textit{dest}dest」这一部分，可以将原图中的所有边反向，这样就变成了「从 dest\textit{dest}dest 到 ccc」。就可以使用 Dijkstra\text{Dijkstra}Dijkstra 算法计算出以 dest\textit{dest}dest 为出发点，到所有节点的最短路径长度
在得到了所有需要的最短路径的长度之后，枚举 ccc 得出答案

class Solution {public long minimumWeight(int n, int[][] edges, int src1, int src2, int dest) {// 建图 正向图 + 反向图List<int[]>[] g = new List[n], rg = new List[n];Arrays.setAll(g, e -> new ArrayList<int[]>());Arrays.setAll(rg, e -> new ArrayList<int[]>());for (int[] e : edges) {int x = e[0], y = e[1], weight = e[2];g[x].add(new int[]{y, weight});rg[y].add(new int[]{x, weight});}// 3次dijkstralong[] dist1 = dijkstra(g, src1);long[] dist2 = dijkstra(g, src2);long[] dist3 = dijkstra(rg, dest);// 枚举 clong ans = Long.MAX_VALUE/3;for (int i = 0; i < n; i++) {if (dist1[i] == Long.MAX_VALUE/3 || dist2[i] == Long.MAX_VALUE/3 || dist3[i] == Long.MAX_VALUE/3) {continue ;}ans = Math.min(ans, dist1[i] + dist2[i] + dist3[i]);}return ans >= Long.MAX_VALUE/3 ? -1 : ans;}// 计算点 start 到各点的最短距离private long[] dijkstra(List<int[]>[] g, int start) {// dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 ylong[] dist = new long[g.length];// 起始先将所有的点标记为「距离为正无穷」Arrays.fill(dist, Long.MAX_VALUE / 3);// 只有起点最短距离为 0dist[start] = 0;// 小根堆 // 以 (到起点的距离，点编号) 进行存储，优先弹出「最短距离」较小的点PriorityQueue<long[]> pq = new PriorityQueue<long[]>((a, b) -> Long.compare(a[0], b[0]));pq.offer(new long[]{0l, start});while (!pq.isEmpty()) {long[] p = pq.poll();long weight = p[0];int x = (int) p[1];if (weight > dist[x]) {continue ;}// 更新其他点的「最短距离」for (int[] e : g[x]) {int y = e[0];long d = dist[x] + e[1];if (d < dist[y]) {dist[y] = d;pq.offer(new long[]{d, y});}}}return dist;}
}

时间复杂度：O(n+mlog⁡m)O(n + m \log m)O(n+mlogm)，其中 mmm 是数组 edges\textit{edges}edges 的长度
空间复杂度：O(m)O(m)O(m)，即为存储图和反向图的邻接表需要使用的空间

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