一、问题描述

一块 4cm x 3cm 的板，表面的散热忽略不计，四边温度给定，除一条长边温度为 100◦C 外，其他三条边的温度为 20◦C。计算其稳定的温度场。

采用迭代法计算时，注意采用不同的松弛因子，并比较收敛速度，观察在不同的网格尺度下，最佳松弛因子的变化。

二、解题思路

本题为给定边界条件的泊松方程的求解问题。

采用 SOR 松弛法：

其中
β=ΔxΔy\beta = \frac{\Delta x}{\Delta y} β=ΔyΔx

用 matlab 编写函数
functionn=SOR(w)function \quad n = SOR(w)functionn=SOR(w)
其中参数 w 为松弛因子，返回值 n 为收敛所需要的迭代次数。判断收敛的条件为

∑i,j(Ti,jn+1−Ti,jn)2<ϵ\sum_{i,j} (T_{i,j}^{n+1} - T_{i,j}^n)^2 < \epsilon i,j∑(Ti,jn+1−Ti,jn)2<ϵ

function n = SOR(w)
xl = 1;
yl = 1;
n = 30;
hx = xl/n;
hy = yl/n;T = zeros(n);
f = zeros(n);T(:,1)=20;
T(:,end)=20;
T(1,:)=20;
T(end,:) = 100;e = 1;
while(e >0.0001)n = n+1;T1 = sor(T,f,w,hx,hy,1);e = sum((T1(:)-T(:)).^2);T = T1;
end
contour(T,100);function T = sor(T,f,w,dx,dy,N)
b = dx/dy;
B2 = b*b;
DX2 = dx*dx;
C = w/(2*(1+B2));
for t = 1:Nfor i =2:size(T,1)-1for j = 2:size(T,1)-1T(i,j) = (1-w)*T(i,j) + C*(T(i+1,j)+T(i-1,j) + ...B2*(T(i,j+1)+T(i,j-1))+DX2*f(i,j));endend
end

结果

不同网格尺度下最佳松弛因子的变化

可见随着网格数增加，最佳松弛因子随之增大，趋向 2.0

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