离散数学之集合笔记一

1.1 集合的定义

集合： 是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称
为这个集合的元素。
外延公理 + 空集存在公理 + 无序对公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 无穷公理 +
替换公理 + 正则公理 + 选择公理。 (ZFC 公理化集合论)

1.2 集合的表示

通常情况下

用带或不带下标的大写英文字母表示集合: A; B; C; · · · ; A1; B1; C1; · ·
用带或不带下标的小写英文字母表示元素: a; b; c; · · · ; a1; b1; c1

1.3 属于关系

若 a 是集合 A 中的元素，则称 a属于A，记为 a 2 A
若 a 不是集合 A 中的元素，则称 a不属于A，记为 a 2/ A

1.4 集合的表示方法

枚举法： 列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (· · · ) 表示。

A = {a; b; c; d}
B = {2; 4; 6; 8; 10; · · · }
叙述法: 通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合。

P = {x|P(x)}
e.g:
A = {x|x是英文字母中的元音字母}

**文氏图:**是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。

1.5 基数

集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A|
若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(fnite set)
若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infnite set)

1.6 特殊集合

1.6.1 空集： 不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作 ∅.
空集可以符号化为 ∅ = {x|x ̸= x}
PS:空集是绝对唯一的
1.6.2 全集： 针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set)，记作 U 或 E.
在文氏图一般使用方形表示全集。
PS:全集是相对唯一的。
1.6.3集合的相等关系：
元素的特性：

集合中的元素是无序的。 {1; 2; 3; 4} 与 {2; 3; 1; 4} 相同。
集合中的元素是不同的。 {1; 2; 2; 3; 4; 3; 4; 2}与 {1; 2; 3; 4} 相同。

Theorem (外延性原理)

两个集合 A 和 B 相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为 A = B, 否则 A 和 B 不相等，记为
A ̸= B.

1.6.4 子集和真子集

设 A = {BASIC; PASCAL; ADA}; B = {ADA; PASCAL},
此时 A 中含有 B 中所有的元素，这种情况称为A 包含 B.
设 A; B 是任意两个集合，
如果 B 的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的子集，也称做B 被 A 包含或A 包含
B，记作B ⊆ A，否则记作B ⊈ A.
如果 B ⊆ A 并且 A ̸= B，则称 B 是 A 的真子集，也称做B 被 A 真包含或A 真包含 B，记
作B ⊂ A，否则记作B ̸⊂ A
”⊆” 关系的数学语言描述为：B ⊆ A , 对  任意x, 如果 x ∈B, 则 x ∈A.

1.6.5 如何证明两个集合相等

设 A; B 为任意两个集合，则 A = B , A ⊆ B 并且 B ⊆ A
证明：
1 首先证明 A ⊆ B：∀x ∈A; · · · ; x  ∈ B，A ⊆ B:
2 其次证明 B ⊆ A：∀x ∈ B; · · · ; x  ∈A， B ⊆ A:
由以上两点，可知 A=B。

1.6.6 n 元集的子集

对于任意 n 元集合 A，它的 m 元 (0 ⩽ m ⩽ n) 子集个数为 Cm n 个,
所以不同的子集个数为：

Cn0+Cn1+……+Cnn=(1+1)n=2nC^{0}_{n}+C^{1}_{n}+……+C^{n}_{n}=(1+1)^n=2^nCn0+Cn1+……+Cnn=(1+1)n=2n
1.6.7 幂集
设 A 为任意集合，把 A 的所有不同子集构成的集合叫做 A 的幂集(power set), 记作 P(A)，即：P(A) = {x|x ⊆ A}
例如：

设 A = {a; b; c}，B = {a; {b; c}}，求他们的幂集 P(A) 和 P(B)。
解：P(A) = {∅,{a}, {b}, {c},{a, b}; {b, c}, {a, c},{a, b,c}}
P(B) = {∅， {a}, {{b, c}}, {a;，{b， c}}}

1.7 集合的基本运算

1.7.1 并集

设 A; B 是两个集合，则集合 A 与 B 的并
集定义为：
A∪B = {x|x∈A 或 x∈B}

1.7.2 交集

设 A; B 是两个集合，则集合 A 与 B 的交
集定义为：
A ∩B ={x|x∈A 且 x∈B}

1.7.3 补集

设 U 是全集，则集合 A 的补集定义为：
A = {x|x ∉A}
PS：A的上面应该带一横

1.7.4 差集

设 A; B 是两个集合，则集合 A 与 B 的差
集定义为：
A − B = {x|x∈A 并且 x∉B}

1.7.5 对称差集

设 A; B 是两个集合，则集合 A 与 B 的对称
差集定义为：
A ⊕ B = {x|(x∈A 并且 x ∉ B)或者(x ∉A 并且 x ∈B)}