商人渡河问题(MATLAB版)

一、问题描述

3 名商人各带 1 名随从过河(从西岸到东岸)，一只小船最多能容纳 2 人。随从们约定：在河的任意一岸，若随从人数多于商人人数，就杀人越货. 但商人们知道了他们的约定，并且掌握着过河大权，他们该采取怎样的策略才能安全过河？

二、算法思想

这个问题实际上是一个迷宫问题，为什么这样说呢？请听我慢慢道来.
首先，我们将每次渡河前西岸的人员分布和船所在的位置统称为一个"状态"，用 [ u , v , 1 / 0 ] \small [u,v,1/0] [u,v,1/0] 表示，其中 u , v u,v u,v 表示商人、随从在西岸的人数，末分量表示船的位置：1 表示船在西岸，0 表示船在东岸.将符合条件的状态挑出来组成允许状态集合.
其次，船最多可容纳两个人. 将渡河方案用 [ u , v ] \small [u,v] [u,v] 表示，其中 u , v u,v u,v 分别表示上船的商人数和随从数，并将其称为决策变量，决策变量构成的集合称为决策变量集合.

共有 20 种允许状态和 5 个决策变量.
初始状态为 [ 3 , 3 , 1 ] \small [3,3,1] [3,3,1]：3 名商人、3 名随从在西岸，船停靠在西岸；
终止状态为 [ 0 , 0 , 0 ] \small [0,0,0] [0,0,0]：0 名商人、0 名随从在西岸，船停靠在东岸，此时商人和随从全部到达东岸，这样就确定了"迷宫"的入口和出口.

从一个状态变换到另一个状态是通过决策变量实现的，这里的决策变量也就相当于"迷宫"中的一段路.
所以，我们的任务就是选择可行的路径，从"迷宫"的入口走到出口.

现在你应该觉得这好像是个迷宫问题，但心中应当还存有怀疑，因为只有入口和出口的话，并不能称得上是迷宫问题，那还有什么其他的特点呢？

想想我们是怎样解决迷宫问题的？从入口出发，沿某一方向前进，若能走通，则继续往前走；如果不能走通或是有某一分叉可以抵达出口，则沿原路退回到刚刚的分叉点，换个方向继续前进. 重复这个过程，直至探索出所有可能的通路.

这个问题也是这样的，从初始状态开始，尝试某种渡河方案，若能到达未经过的允许状态，则采取该渡河方案；如果不能到达任何一种允许状态或者是能够抵达终止状态，则原路返回至刚刚的状态，尝试其他的渡河方案. 重复这个过程，直到探索出所有的渡河方案.

读到这儿，你可能会感觉到，这真的就是一个迷宫问题. 好，既然你认同了，咱就继续往下说.

三、如何实现

怎样利用程序来解决这类问题呢？栈+回溯.
栈(什么是栈？你可以把它简单地想象成桶装薯片(只有一端开口)，你只能从上面的薯片依次往下吃才能吃到最后一个，而不能直接吃到最后一个)，具有"后进先出"的特性，所以我们用它来存储经过(或已标记)的状态。
初始情况：起始状态已被标记，放在栈中. 考虑某一当前状态(已标记)，则回溯法的基本思想是：

若当前状态是终止状态，则输出路径，之后进行回溯，即返回上一层，去除当前状态标记，当前状态出栈，返回上一状态，上一状态继续尝试没有试过的决策变量；
若当前状态不是终止状态，则依次尝试决策变量：
(1). 若当前决策变量能使我到达某个未标记的允许状态，则将在其上面做标记，而后移动到那个状态(此时当前状态已发生改变)，进行递归调用，在调用语句之后，消除那个状态的标记，将其从栈中移出；
(2). 若当前决策变量不能使我到达未标记的允许状态，则尝试下一决策变量；
当前状态下所有的决策变量(不论可不可行)都试过之后，进行回溯；

正是这种回溯机制，保证了所有可行"路径"均能被找到.

四、流程图

1. 主程序

2. 递归函数 crossRiver

五、源程序代码

1. 主程序 DFS.m

clear;clc;
% 商人过河问题% global 用于声明全局变量
global State D SS;
% State 允许状态集合
% D     决策变量集合
% SS    状态标记集合m = 3;   % 商人数
n = 3;   % 随从数
max = 2; % 船所能容纳的最大人数% 1.设置允许状态集合{[u,v,1/0]}
% u,v 分别表示商人、随从在西岸的人数
% 末分量：1 表示船在西岸，0 表示船在东岸State = [];
numS = 0; % 允许状态的数目
% 设定符合要求的人员状态
% 任意一岸，商人数不小于随从数
% 或者，某一岸商人数为 0
for u = 0:mfor v = 0:nif ((u >= v && (m-u) >= (n-v)) || u == 0 || u == m)  numS = numS + 1;State(numS,:) = [u,v];         endend
end
% 设定船的状态
% [u,v,1] 表示船在西岸，[u,v,0] 表示船在东岸
State = [State, ones(numS,1);State, zeros(numS,1)];
numS = numS*2; % 状态数翻倍
disp('允许状态集合:');
State
fprintf('共%d种允许状态\n\n', numS);% 2.设定决策变量集合
% max: 船所能容纳的最大人数
% [u,v]: u,v 分别表示船上商人和随从人数
D = [];
global numD;
numD = 0; % 决策变量个数
for u = 0:mfor v = 0:nif ((u+v) >= 1 && (u+v) <= max)numD = numD + 1;D(numD,:) = [u,v];endend
end
disp('决策变量集合:');
D
fprintf('共%d个决策变量\n\n',numD);% 3.设置状态访问标记集合
% 对状态进行编号: 1 ~ numS
% SS(i) == 1，表示 i 号状态已访问;
% SS(i) == 0，表示 i 号状态未访问;
SS = zeros(numS,1);global pos_end;
global pos_passed k count;
% pos_end    终止状态编号
% pos_passed 留下访问标记的状态编号
% k          留下访问标记的状态数目
% count      解的个数% 初始状态(3,3,1),编号:
pos_begin = find(ismember(State, [3,3,1], 'rows') == 1);
% 终止状态(0,0,0),编号:
pos_end = find(ismember(State, [0,0,0], 'rows') == 1);% 4.对参数进行初始化
count = 0;
SS(pos_begin) = 1;          % 在初始位置留下访问标记
pos_passed(1) = pos_begin;  % 留下访问标记的状态编号
k = 1;% 5.调用递归函数
crossRiver(pos_begin);    if count == 0fprintf('No solution.\n');
end

2. 过河函数 crossRiver.m

function crossRiver(pos_currentS)
% pos_currentS 当前状态编号% 全局变量
global State D numD SS;
% State 允许状态集合
% numD  决策变量数目
% D     决策变量集合
% SS    状态标记集合
global pos_passed pos_end;
% pos_passed 留下访问标记的状态编号
% pos_end    终止状态编号
global k;
% k          留下访问标记的状态数目,初值为1if pos_currentS == pos_end % 终止情况showSolution();
else                       % 非终止情况for i = 1:numDpossibleS = zeros(1,3);  % 事先为可能的状态分配空间      possibleS(1,1:2) = State(pos_currentS,1:2) + ((-1)^(State(pos_currentS,3)))*D(i,:);% 船从西岸到东岸，西岸人数减少；从东岸到西岸，西岸人数增加.possibleS(1,3) = 1 - State(pos_currentS,3);% 船的状态也随之改变% 按行判断可能的状态是否属于允许状态集合sign = ismember(State, possibleS, 'rows'); % 如果可能的状态属于允许状态集合且未被标记，则进行访问% 这样做可以避免回到经过的状态，否则程序将陷入死循环if sum(sign) == 1[pos_next,~] = find(sign == 1);   % pos_next:可能状态的编号if SS(pos_next) == 0            % 若未被标记              SS(pos_next) = 1;           % 则进行标记    k = k + 1;pos_passed(k) = pos_next;   % 将其添加到标记点组成的集合中crossRiver(pos_next);     % 调用自身，进行递归                            SS(pos_next) = 0;           % 消除标记k = k - 1;                    % 将其从标记点组成的集合中移出endend      end
end

3. 输出解的函数 showSolution.m

function showSolution()
% 全局变量
global State pos_passed k count;
% State   允许状态集合
% pos_passed  留下访问标记的状态编号
% k       留下访问标记的状态数目，初值为1
% count   解的个数，初值为0count = count + 1;
fprintf('Solution %d...\n', count);
fprintf('\t\t  West       East\n');
for i = 1:k % 输出经过的状态fprintf(' State%2d:(%d,%d)', i, State(pos_passed(i),1), State(pos_passed(i),2));if State(pos_passed(i),3) == 1      % 船在西岸fprintf('★_____');  % ★ 表示船else % State(pos_passed(i),3) == 0  % 船在东岸fprintf('_____★');endfprintf('(%d,%d)\n', 3 - State(pos_passed(i),1), 3 - State(pos_passed(i),2));% 输出渡河方案if i ~= kif State(pos_passed(i),3) == 1fprintf(' Plan\t:--(%d,%d)->\n', State(pos_passed(i),1) - State(pos_passed(i+1),1), State(pos_passed(i),2) - State(pos_passed(i+1), 2));elsefprintf(' Plan\t:<-(%d,%d)--\n', State(pos_passed(i+1),1) - State(pos_passed(i),1), State(pos_passed(i+1),2) - State(pos_passed(i),2));endend
end
fprintf('\n');
end

六、求解结果

七、小结

这是一个经典的过河问题，本质就是在各允许状态之间寻找符合要求的路径，考虑到可能有多条路径，需要使用栈保存经过的状态，以便回溯. 几点心得：

合适的数据结构——栈，对于此问题的处理起到了至关重要的作用；
对允许状态进行编号，方便编程，同时增强了程序的通用性；
采用标记的方式记录经过的状态，与直接删除经过的状态相比，有着很大的优越性，一是保证了回溯的进行，二是避免了删除操作；
类似的问题还有八皇后问题、人狗鸡米过河问题以及其他版本的过河问题；

Plus: 如有错误、可以改进的地方、或任何想说的，请在评论区留言！