1.割点是什么

在一个无向连通图中，如果删除某个顶点后，图不再连通（任意两顶点之间不能相互到达），我们称这样的顶点为割点。

2.找割点的办法

很容易就可以想到一个方法，依次删除每一个顶点，然后对图进行DFS或BFS或并查集来判断图是否连通。如果删除某个顶点后，导致图不再连通，那么说明该顶点就是割点。
但是对每一个顶点都进行遍历，时间复杂度会很高。

下面介绍另外一种方法，
从图的某个顶点（假设为1号顶点）开始进行DFS遍历，加入遍历到了节点k，此时图的顶点就会被分割为2部分，一部分是已经被访问过的节点，另一部分是还没有被访问的节点。如果k是割点，那么可以判定在还没有被访问的节点中至少存在一个节点在不经过节点k的情况下，是回不到已经访问过的节点的，所以在这种情况下，图就被分割成为了多个不连通的子图。

2.1方法的核心

当DFS访问节点u时，假设图中还有节点v没有被访问，则可以通过如下方法判断节点v在不经过节点u的情况下是否能回到祖先：
对顶点v再进行一次DFS，但是此次遍历不允许经过节点u，看看是否能回到祖先，如果不能则说明节点u是割点。

2.2 具体过程

节点旁边的（x，y）分别表示：该节点第x次被遍历，在该节点回溯过程中不经过父节点最近的一个节点，即下文中的num[i]和low[i]。

2.3实现

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;/*
* 测试用例
6 7（顶点数和边数）
1 4
1 3
4 2
3 2
2 5
2 6
5 6
*/
class Cut_point
{private:int vertice = 0;//顶点数int edge = 0;//边数//0行0列不存储信息，graph[i][j]表示节点i到节点j的权值为graph[i][j]vector<vector<int>> graph;//存储图的信息//在所有的数组中下标0均不存值vector<int> flag;//记录图中的割点，即flag[i] == 1；vector<int> num;//记录每个节点遍历的顺序（num[i] = j表示节点i是第j个被遍历的）vector<int> low;//记录节点不经过父顶点回溯的最早的节点（low[i] = j表示节点i最早回到j节点）int root = 1;//记录根节点int index = 0;//记录num中的值public:Cut_point(int x = 0, int y = 0) :vertice(x), edge(y){graph.resize(vertice + 1);for (int i = 0;i <= vertice; i++){graph[i].resize(vertice + 1,0);}flag.resize(vertice + 1, 0);num.resize(vertice + 1, 0);low.resize(vertice + 1, 0);}//图以及图相关的数据结构初始化void Init_Graph(){int u = 0, v = 0;for (int i = 0; i < edge; i++){cin >> u >> v;graph[u][v] = 1;graph[v][u] = 1;//无向图的初始化，没有权重信息，初始化为1即可}}vector<int> Cut_point_By_DFS(int curernt,int father){int child = 0;//记录current节点的汉字总数index++;//当前访问的顺序加1num[curernt] = index;//表示current节点是在第index被访问的low[curernt] = index;for (int i = 1; i <= vertice; i++){if (graph[curernt][i] == 1){//节点i还没有被访问过if (num[i] == 0){child++;//i是current的孩子Cut_point_By_DFS(i, curernt);//继续往下DFS//个人理解：在所有到current的边中，找最小下标的 low[curernt] = min(low[curernt], low[i]); //更新current节点能够访问到的最早顶点的顺序if (curernt != root && low[i] >= num[curernt])//当前节点不是根节点，并且满足low[i] >= num[current]，则当前节点为割点{flag[curernt] = 1;}//如果当前顶点是根节点，在生成树中根节点中必须要有两个儿子，那么这个根节点才是割点if (curernt == root && child == 2){flag[curernt] = 1;}}else{//节点i已经被访问过，并且这个顶点不是当前节点current的父亲，则说明此时的i为current的祖先，//因此就需要更新当前节点current能够访问到最早顶点的indexlow[curernt] = min(low[curernt], num[i]);}}}return flag;}
};int main()
{int vertice = 0, edge = 0;//顶点数，边数cout << "请输入顶点数和边数：" << endl;cin >> vertice >> edge;vector<int> flag;Cut_point point(vertice,edge);cout << "请输入边的信息：" << endl;point.Init_Graph();flag = point.Cut_point_By_DFS(1, 1);//从1号顶点开始进行DFS，并且认为1号顶点是根节点cout << "割点为：";for (int i = 1; i <= vertice; i++){if (flag[i] == 1){cout << i << "    ";}}return 0;
}

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