洛必达法则的一种极简证明
洛必达法则具体如下：
如有：
limx→af(x)=0,limx→ag(x)=0orlimx→af(x)=∞,limx→ag(x)=∞\lim _{x \rightarrow a} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \;\;\mathrm{or}\;\; \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\infty x→alimf(x)=0,x→alimg(x)=0orx→alimf(x)=∞,x→alimg(x)=∞
则有（默认邻域内可导：
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=A\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x)=A
证明： 先考虑 limx→af(x)=0,limx→ag(x)=0\lim _{x \rightarrow a} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0limx→af(x)=0,limx→ag(x)=0. 即： f(a)=g(a)=0f(a)=g(a)=0f(a)=g(a)=0
根据柯西中值定理，存在mmm为(a,x)(a,x)(a,x)间一点， 有：
f(x)g(x)=f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(m)g′(m)\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^\prime(m)}{g^\prime (m)}g(x)f(x)=g(x)−g(a)f(x)−f(a)=g′(m)f′(m)
令x→ax\rightarrow ax→a， 此时m→am\rightarrow am→a， 得到：
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x).\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime (x)}.x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x).
接下来考虑 limx→af(x)=∞,limx→ag(x)=∞\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\inftylimx→af(x)=∞,limx→ag(x)=∞， 我们首先有：
f(x)g(x)=1g(x)1f(x)\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}g(x)f(x)=f(x)1g(x)1,
显然当x→ax \rightarrow ax→a时， 分子分母都趋近于0， 因此根据刚证明的结论，有：
limx→a1g(x)1f(x)=limx→a(1g(x))′(1f(x))′=limx→a−1g(x)2g(x)′−1f(x)2f(x)′=limx→a1g2(x)1f2(x)limx→ag(x)′f(x)′\lim _{x \rightarrow a}\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}=\lim _{x \rightarrow a}\frac{(\frac{1}{g(x)})^\prime}{(\frac{1}{f(x)})^\prime}=\lim _{x \rightarrow a}\frac{-\frac{1}{g(x)^2}g(x)^\prime}{-\frac{1}{f(x)^2}f(x)^\prime}=\lim _{x \rightarrow a}\frac{\frac{1}{g^2(x)}}{\frac{1}{f^2(x)}}\lim _{x \rightarrow a}\frac{g(x)^\prime}{f(x)^\prime}x→alimf(x)1g(x)1=x→alim(f(x)1)′(g(x)1)′=x→alim−f(x)21f(x)′−g(x)21g(x)′=x→alimf2(x)1g2(x)1x→alimf(x)′g(x)′,
两边都除以 t2t^2t2, t=limx→a1g(x)1f(x)t=\lim _{x \rightarrow a}\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}t=limx→af(x)1g(x)1, 有：
limx→ag(x)f(x)=limx→ag(x)′f(x)′\lim_{x \rightarrow a}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim _{x \rightarrow a}\frac{g(x)^\prime}{f(x)^\prime}x→alimf(x)g(x)=x→alimf(x)′g(x)′
证毕。
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